Дана функция f(x)=2x^3+3x^2 а)найдите промежутки возрастания и убывания функции б)точки экстремума в)...

а) Функция возрастает на промежутках (-бесконечность; -1) и (0; +бесконечность), убывает на промежутке (-1;0). б) Точки экстремума: x = -2/3 (локальный минимум), x = 0 (точка перегиба), x = 1 (локальный максимум). в) Наибольшее значение функции на отрезке [-1;5] равно 98 (при x = 5), наименьшее значение равно -2 (при x = -1).

Для решения задачи, связанной с анализом функции ( f(x) = 2x^3 + 3x^2 ), нам потребуется выполнить несколько шагов, связанных с нахождением производных и анализом их знаков.

а) Промежутки возрастания и убывания функции

1. Найдем первую производную функции: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2) = 6x^2 + 6x ]

2. Найдем критические точки, решив уравнение ( f'(x) = 0 ): [ 6x^2 + 6x = 0 ] [ 6x(x + 1) = 0 ] [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -1 ]

3. Определим знаки производной на промежутках:

   • На промежутке ( (-\infty, -1) ): Выберем тестовую точку, например, ( x = -2 ): [ f'(-2) = 6(-2)^2 + 6(-2) = 24 - 12 = 12 > 0 ] Значит, функция возрастает на этом промежутке.

   • На промежутке ( (-1, 0) ): Выберем тестовую точку, например, ( x = -0.5 ): [ f'(-0.5) = 6(-0.5)^2 + 6(-0.5) = 1.5 - 3 = -1.5 < 0 ] Значит, функция убывает на этом промежутке.

   • На промежутке ( (0, \infty) ): Выберем тестовую точку, например, ( x = 1 ): [ f'(1) = 6(1)^2 + 6(1) = 6 + 6 = 12 > 0 ] Значит, функция возрастает на этом промежутке.

Таким образом, функция возрастает на ((-∞, -1)) и ( (0, ∞) ), и убывает на ((-1, 0)).

б) Точки экстремума

Чтобы определить точки экстремума, проверим знак производной перед и после критических точек:

• Для ( x = -1 ):

  • Перед точкой: ( f'(-1-\epsilon) > 0 )
  • После точки: ( f'(-1+\epsilon) < 0 )
  • Следовательно, в ( x = -1 ) функция имеет локальный максимум.

• Для ( x = 0 ):

  • Перед точкой: ( f'(0-\epsilon) < 0 )
  • После точки: ( f'(0+\epsilon) > 0 )
  • Следовательно, в ( x = 0 ) функция имеет локальный минимум.

в) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке ([-1; 5])

1. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

   • ( f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 = -2 + 3 = 1 )
   • ( f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 = 0 )
   • ( f(-1) = 1 ) (уже вычислено)
   • ( f(5) = 2(5)^3 + 3(5)^2 = 250 + 75 = 325 )

2. Сравним значения:

   • Наименьшее значение: ( f(0) = 0 )
   • Наибольшее значение: ( f(5) = 325 )

Таким образом, на отрезке ([-1; 5]) наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее — 325.

а) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти производную функции f(x) и найти ее нули.

f'(x) = 6x^2 + 6x

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

6x^2 + 6x = 0 6x(x + 1) = 0 x = 0, x = -1

Таким образом, промежутки возрастания функции находятся при x < -1 и x > 0, а промежутки убывания -1 < x < 0.

б) Для нахождения точек экстремума необходимо найти вторую производную функции f(x) и найти ее нули:

f''(x) = 12x

Точки экстремума будут находиться в точках, где вторая производная равна нулю:

12x = 0 x = 0

Таким образом, точка экстремума функции находится в точке x = 0.

в) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [-1;5] необходимо найти значения функции в концах отрезка и в точке экстремума:

f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 = -2 + 3 = 1 f(0) = 20^3 + 30^2 = 0 f(5) = 25^3 + 35^2 = 250 + 75 = 325

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-1;5] равно 0, а наибольшее значение равно 325.