Дана функция f(x)=2x^3+6x^2-1 а)найдите промежутки возрастания и убывания функции б) наибольшее и наименьшее...

а) Функция возрастает на интервалах (-бесконечность, -2) и (-1, +бесконечность), убывает на интервалах (-2, -1).

б) Наибольшее значение функции на отрезке [-3, 0] равно f(0) = -1, наименьшее значение - f(-3) = -61.

Для решения задачи а) и б) начнем с нахождения производной функции ( f(x) = 2x^3 + 6x^2 - 1 ).

Производная функции: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 6x^2 - 1) = 6x^2 + 12x. ]

a) Промежутки возрастания и убывания

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно исследовать знак первой производной:

[ f'(x) = 6x^2 + 12x = 6x(x + 2). ]

Производная равна нулю, когда: [ 6x(x + 2) = 0 ] [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -2. ]

Рассмотрим знаки производной на интервалах, разделенных этими точками:

• Когда ( x < -2 ), оба множителя ( 6x ) и ( (x + 2) ) отрицательны, значит ( f'(x) > 0 ) — функция возрастает.
• Когда ( -2 < x < 0 ), ( 6x ) отрицателен, а ( (x + 2) ) положителен, значит ( f'(x) < 0 ) — функция убывает.
• Когда ( x > 0 ), оба множителя ( 6x ) и ( (x + 2) ) положительны, значит ( f'(x) > 0 ) — функция возрастает.

б) Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-3, 0]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, надо рассмотреть значения функции в критических точках (где производная равна 0 или не существует) и на концах отрезка.

1. ( f(-3) = 2(-3)^3 + 6(-3)^2 - 1 = -54 + 54 - 1 = -1 ).
2. ( f(-2) = 2(-2)^3 + 6(-2)^2 - 1 = -16 + 24 - 1 = 7 ).
3. ( f(0) = 2(0)^3 + 6(0)^2 - 1 = -1 ).

Из значений ( f(-3) = -1 ), ( f(-2) = 7 ), ( f(0) = -1 ) видно:

• Наибольшее значение функции на отрезке [-3, 0] равно ( 7 ) (достигается в точке ( x = -2 )).
• Наименьшее значение функции на отрезке [-3, 0] равно ( -1 ) (достигается в точках ( x = -3 ) и ( x = 0 )).

а) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти производную функции f'(x) и найти ее нули.

f'(x) = 6x^2 + 12x

Теперь найдем нули производной:

6x^2 + 12x = 0 6x(x + 2) = 0 x = 0, x = -2

Изменение знака производной меняется на этих точках, что позволяет нам определить промежутки возрастания и убывания функции:

• Функция возрастает на промежутке (-бесконечность, -2)
• Функция убывает на промежутке (-2, 0)
• Функция снова возрастает на промежутке (0, +бесконечность)

б) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-3, 0], необходимо найти значения функции в крайних точках отрезка, а также в найденных нами точках (-2, 0).

f(-3) = 2(-3)^3 + 6(-3)^2 - 1 = -55 f(0) = 20^3 + 60^2 - 1 = -1 f(-2) = 2(-2)^3 + 6(-2)^2 - 1 = -13

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-3, 0] равно -1, а наименьшее значение равно -55.