Дана функция f(x)= корень из -x^2-6x-5. Найти область определения функции
Дана функция f(x)= корень из -x^2-6x-5. Найти область определения функции
Для того чтобы найти область определения функции f(x) = √(-x^2 - 6x - 5), нужно определить значения x, для которых выражение под корнем неотрицательно.
Выражение под корнем должно быть больше или равно нулю: -x^2 - 6x - 5 ≥ 0.
Для решения этого неравенства можно воспользоваться методом дискриминантов. Сначала приведем неравенство к стандартному виду: x^2 + 6x + 5 ≤ 0.
Далее находим дискриминант D = b^2 - 4ac = 6^2 - 415 = 36 - 20 = 16.
Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Так как D > 0, у нас есть два действительных корня. Далее, для нахождения области определения функции, нужно решить неравенство x^2 + 6x + 5 ≤ 0.
Корни уравнения x^2 + 6x + 5 = 0: x1 = -1, x2 = -5.
Таким образом, область определения функции f(x) = √(-x^2 - 6x - 5) будет от -5 до -1, включая эти значения: -5 ≤ x ≤ -1.
Чтобы найти область определения функции ( f(x) = \sqrt{-x^2 - 6x - 5} ), необходимо определить, при каких значениях ( x ) выражение под корнем будет неотрицательным, поскольку квадратный корень из отрицательного числа не определён в области действительных чисел.
Рассмотрим неравенство:
[ -x^2 - 6x - 5 \geq 0 ]
Это можно переписать как:
[ -x^2 - 6x - 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 6x + 5 \leq 0 ]
Теперь нам нужно решить квадратное неравенство ( x^2 + 6x + 5 \leq 0 ).
Найдём корни квадратного уравнения ( x^2 + 6x + 5 = 0 ) с помощью дискриминанта:
Дискриминант ( D ) равен:
[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 ]
Корни уравнения:
[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 \pm 4}{2} ]
[ x_1 = \frac{-6 + 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-6 - 4}{2} = -5 ]
Построим числовую прямую и отметим корни ( x = -5 ) и ( x = -1 ). Эти точки делят прямую на три интервала: ( (-\infty, -5) ), ( (-5, -1) ) и ( (-1, +\infty) ).
Определим знаки на интервалах:
На интервале ( (-\infty, -5) ), выберем тестовую точку, например, ( x = -6 ):
[ (-6)^2 + 6(-6) + 5 = 36 - 36 + 5 = 5 > 0 ]
Выражение больше нуля.
На интервале ( (-5, -1) ), выберем тестовую точку, например, ( x = -3 ):
[ (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 < 0 ]
Выражение меньше нуля.
На интервале ( (-1, +\infty) ), выберем тестовую точку, например, ( x = 0 ):
[ (0)^2 + 6(0) + 5 = 5 > 0 ]
Выражение больше нуля.
Учитывая неравенство ( x^2 + 6x + 5 \leq 0 ), область определения функции будет интервал, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал ( [-5, -1] ), так как на этом интервале функция принимает нулевые или отрицательные значения (которые при умножении на минус дают неотрицательные значения под корнем).
Таким образом, область определения функции ( f(x) = \sqrt{-x^2 - 6x - 5} ) — это отрезок ( x \in [-5, -1] ).
Область определения функции: x ∈ [-5, -1]
