Дана функция f(x)=x(в 3 степени)-3x(во 2 степени)+4 Найдите: a) точки максимума и минимума; б) промежутки...

a) Для нахождения точек максимума и минимума необходимо найти производную функции f(x) и приравнять ее к нулю: f'(x) = 3x^2 - 6x Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю: 3x^2 - 6x = 0 3x(x - 2) = 0 x = 0 или x = 2 Таким образом, точки максимума и минимума функции f(x) равны x = 0 и x = 2.

b) Для определения промежутков возрастания и убывания необходимо проанализировать знак производной в интервалах между найденными точками и за пределами: 1) Для x < 0: f'(x) < 0, значит функция убывает. 2) Для 0 < x < 2: f'(x) > 0, функция возрастает. 3) Для x > 2: f'(x) < 0, функция снова убывает.

Итак, промежутки возрастания функции f(x) - (0, 2), промежутки убывания - (-∞, 0) и (2, +∞).

Для анализа функции ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 ) выполним следующие шаги:

a) Точки максимума и минимума

1. Находим первую производную ( f'(x) ), чтобы определить критические точки и характер изменения функции: [ f'(x) = 3x^2 - 6x ]

2. Решаем уравнение ( f'(x) = 0 ): [ 3x^2 - 6x = 0 \ 3x(x - 2) = 0 \ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2 ]

3. Используем вторую производную ( f''(x) ), чтобы определить, являются ли эти точки максимумом или минимумом: [ f''(x) = 6x - 6 ] Подставляем ( x = 0 ) и ( x = 2 ): [ f''(0) = -6 \quad (\text{отрицательное значение, значит в x = 0 максимум}) \ f''(2) = 6 \quad (\text{положительное значение, значит в x = 2 минимум}) ]

   Таким образом, точка максимума — ( (0, f(0)) = (0, 4) ), точка минимума — ( (2, f(2)) = (2, 0) ).

b) Промежутки возрастания и убывания

1. Анализ знаков ( f'(x) ) на интервалах, разделенных критическими точками ( x = 0 ) и ( x = 2 ):
   • Когда ( x < 0 ), подставим, например, ( x = -1 ): [ f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 \quad (\text{положительно, функция возрастает}) ]
   • Между 0 и 2, подставим ( x = 1 ): [ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 \quad (\text{отрицательно, функция убывает}) ]
   • Когда ( x > 2 ), подставим ( x = 3 ): [ f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 \quad (\text{положительно, функция возрастает}) ]

Итак, функция убывает на интервале ( (0, 2) ) и возрастает на интервалах ( (-\infty, 0) ) и ( (2, +\infty) ).