Даны 3 вектора a=12i-3j-4k b=i+2j-4k c=i-3j-2k вычислите проекцию вектора b+c на вектор a

Для вычисления проекции вектора b+c на вектор a необходимо сначала найти скалярное произведение векторов b+c и a, а затем разделить его на длину вектора a.

1. Найдем вектор b+c: b+c = (i + 2j - 4k) + (i - 3j - 2k) = 2i - j - 6k

2. Теперь найдем скалярное произведение векторов b+c и a: b+c a = (2 12) + (-1 -3) + (-6 -4) = 24 + 3 + 24 = 51

3. Найдем длину вектора a: |a| = √(12^2 + (-3)^2 + (-4)^2) = √(144 + 9 + 16) = √169 = 13

4. Вычислим проекцию вектора b+c на вектор a: proj_b+c_a = (b+c * a) / |a| = 51 / 13 = 3.923

Таким образом, проекция вектора b+c на вектор a равна 3.923.

Для того чтобы найти проекцию суммы векторов ( \mathbf{b} + \mathbf{c} ) на вектор ( \mathbf{a} ), сначала нужно вычислить сумму векторов ( \mathbf{b} ) и ( \mathbf{c} ).

Даны векторы: [ \mathbf{b} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 4\mathbf{k} ] [ \mathbf{c} = \mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 2\mathbf{k} ]

Сложим векторы ( \mathbf{b} ) и ( \mathbf{c} ): [ \mathbf{b} + \mathbf{c} = (\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 4\mathbf{k}) + (\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 2\mathbf{k}) ] [ = (1+1)\mathbf{i} + (2-3)\mathbf{j} + (-4-2)\mathbf{k} ] [ = 2\mathbf{i} - \mathbf{j} - 6\mathbf{k} ]

Теперь найдём проекцию вектора ( \mathbf{b} + \mathbf{c} ) на вектор ( \mathbf{a} ). Формула для проекции вектора ( \mathbf{u} ) на вектор ( \mathbf{v} ) выглядит следующим образом: [ \text{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} \mathbf{v} ]

Подставим наши значения: [ \mathbf{a} = 12\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 4\mathbf{k} ] [ \mathbf{b} + \mathbf{c} = 2\mathbf{i} - \mathbf{j} - 6\mathbf{k} ]

Сначала вычислим скалярное произведение ( (\mathbf{b} + \mathbf{c}) \cdot \mathbf{a} ): [ (\mathbf{b} + \mathbf{c}) \cdot \mathbf{a} = (2\mathbf{i} - \mathbf{j} - 6\mathbf{k}) \cdot (12\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 4\mathbf{k}) ] [ = 2 \cdot 12 + (-1) \cdot (-3) + (-6) \cdot (-4) ] [ = 24 + 3 + 24 = 51 ]

Теперь вычислим скалярное произведение ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} ): [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = (12\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 4\mathbf{k}) \cdot (12\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 4\mathbf{k}) ] [ = 12^2 + (-3)^2 + (-4)^2 ] [ = 144 + 9 + 16 = 169 ]

Теперь можем найти проекцию: [ \text{proj}_{\mathbf{a}} (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \frac{51}{169} \mathbf{a} ] [ = \frac{51}{169} (12\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 4\mathbf{k}) ] [ = \left(\frac{51 \times 12}{169}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{51 \times (-3)}{169}\right)\mathbf{j} + \left(\frac{51 \times (-4)}{169}\right)\mathbf{k} ] [ = \frac{612}{169}\mathbf{i} - \frac{153}{169}\mathbf{j} - \frac{204}{169}\mathbf{k} ]

Таким образом, проекция вектора ( \mathbf{b} + \mathbf{c} ) на вектор ( \mathbf{a} ) равна: [ \frac{612}{169}\mathbf{i} - \frac{153}{169}\mathbf{j} - \frac{204}{169}\mathbf{k} ]