Даны векторы a(3;-2;-4),b(-2;4-4). а)Будут ли коллинеарными векторы c=4a-2b и d=2a-b? б) Вычислите 2c-3d.

Для начала, давайте выразим векторы ( c ) и ( d ) через векторы ( a ) и ( b ).

Даны: [ \mathbf{a} = (3, -2, -4) ] [ \mathbf{b} = (-2, 4, -4) ]

а) Найдем векторы ( \mathbf{c} ) и ( \mathbf{d} ).

1. Вектор ( \mathbf{c} = 4\mathbf{a} - 2\mathbf{b} ): [ \mathbf{c} = 4(3, -2, -4) - 2(-2, 4, -4) ] Выполним операции: [ 4\mathbf{a} = (4 \cdot 3, 4 \cdot -2, 4 \cdot -4) = (12, -8, -16) ] [ -2\mathbf{b} = (-2 \cdot -2, -2 \cdot 4, -2 \cdot -4) = (4, -8, 8) ] Теперь сложим эти результаты: [ \mathbf{c} = (12, -8, -16) + (4, -8, 8) = (12 + 4, -8 + (-8), -16 + 8) = (16, -16, -8) ]

2. Вектор ( \mathbf{d} = 2\mathbf{a} - \mathbf{b} ): [ \mathbf{d} = 2(3, -2, -4) - (-2, 4, -4) ] Выполним операции: [ 2\mathbf{a} = (2 \cdot 3, 2 \cdot -2, 2 \cdot -4) = (6, -4, -8) ] [ -\mathbf{b} = (-(-2), -4, -(-4)) = (2, -4, 4) ] Теперь сложим эти результаты: [ \mathbf{d} = (6, -4, -8) + (2, -4, 4) = (6 + 2, -4 + (-4), -8 + 4) = (8, -8, -4) ]

Теперь проверим, будут ли векторы ( \mathbf{c} ) и ( \mathbf{d} ) коллинеарными. Векторы коллинеарны, если один из них можно выразить через другой с помощью скалярного умножения на какое-то число.

Проверим, есть ли такое число ( k ), что: [ \mathbf{c} = k\mathbf{d} ]

Рассмотрим координаты: [ (16, -16, -8) = k(8, -8, -4) ]

Для этого должны выполняться следующие равенства:

1. ( 16 = 8k )
2. ( -16 = -8k )
3. ( -8 = -4k )

Решим каждое:

1. ( 16 = 8k \Rightarrow k = \frac{16}{8} = 2 )
2. ( -16 = -8k \Rightarrow k = \frac{-16}{-8} = 2 )
3. ( -8 = -4k \Rightarrow k = \frac{-8}{-4} = 2 )

Видим, что во всех трех случаях ( k = 2 ). Следовательно, векторы ( \mathbf{c} ) и ( \mathbf{d} ) коллинеарны.

б) Теперь вычислим ( 2\mathbf{c} - 3\mathbf{d} ).

1. Найдем ( 2\mathbf{c} ): [ 2\mathbf{c} = 2(16, -16, -8) = (2 \cdot 16, 2 \cdot -16, 2 \cdot -8) = (32, -32, -16) ]

2. Найдем ( 3\mathbf{d} ): [ 3\mathbf{d} = 3(8, -8, -4) = (3 \cdot 8, 3 \cdot -8, 3 \cdot -4) = (24, -24, -12) ]

Теперь вычислим разность: [ 2\mathbf{c} - 3\mathbf{d} = (32, -32, -16) - (24, -24, -12) ] Выполним вычитание по координатам: [ (32 - 24, -32 - (-24), -16 - (-12)) = (32 - 24, -32 + 24, -16 + 12) = (8, -8, -4) ]

Таким образом, [ 2\mathbf{c} - 3\mathbf{d} = (8, -8, -4) ]

а) Векторы c и d будут коллинеарными, если их координаты пропорциональны. Для этого проверим, равны ли отношения координат векторов c и d по модулю.

b) Вычислим 2c-3d: 2c = 2(4a-2b) = 8a - 4b 3d = 3(2a-b) = 6a - 3b 2c - 3d = 8a - 4b - 6a + 3b = 2a - b

а) Для того чтобы определить, будут ли векторы коллинеарными, нужно проверить, равны ли они пропорциональными. Сначала найдем векторы c и d: c = 4a - 2b = 4(3;-2;-4) - 2(-2;4;-4) = (12;-8;-16) - (-4;8;-8) = (16;-16;-8) d = 2a - b = 2(3;-2;-4) - (-2;4;-4) = (6;-4;-8) - (-2;4;-4) = (8;-8;-4)

Теперь найдем отношение компонент векторов c и d: (16/8) = 2 (-16/-8) = 2 (-8/-4) = 2

Таким образом, векторы c и d коллинеарны.

б) Теперь вычислим 2c - 3d: 2c = 2(16;-16;-8) = (32;-32;-16) 3d = 3(8;-8;-4) = (24;-24;-12)

2c - 3d = (32;-32;-16) - (24;-24;-12) = (8;-8;-4)

Ответ: 2c - 3d = (8;-8;-4)