Даны векторы a$3;-2;-4$,b$-2;4-4$. а)Будут ли коллинеарными векторы c=4a-2b и d=2a-b? б) Вычислите 2c-3d.

Для начала, давайте выразим векторы $c$ и $d$ через векторы $a$ и $b$.

Даны: $\mathbf{a}=(3,-2,-4)$ $\mathbf{b}=(-2,4,-4)$

а) Найдем векторы $\mathbf{c}$ и $\mathbf{d}$.

1. Вектор $\mathbf{c}=4\mathbf{a}-2\mathbf{b}$: $\mathbf{c}=4(3,-2,-4)-2(-2,4,-4)$ Выполним операции: $4\mathbf{a}=(4\cdot 3,4\cdot -2,4\cdot -4)=(12,-8,-16)$ $-2\mathbf{b}=(-2\cdot -2,-2\cdot 4,-2\cdot -4)=(4,-8,8)$ Теперь сложим эти результаты: $\mathbf{c}=(12,-8,-16)+(4,-8,8)=(12+4,-8+(-8),-16+8)=(16,-16,-8)$

2. Вектор $\mathbf{d}=2\mathbf{a}-\mathbf{b}$: $\mathbf{d}=2(3,-2,-4)-(-2,4,-4)$ Выполним операции: $2\mathbf{a}=(2\cdot 3,2\cdot -2,2\cdot -4)=(6,-4,-8)$ $-\mathbf{b}=(-(-2),-4,-(-4))=(2,-4,4)$ Теперь сложим эти результаты: $\mathbf{d}=(6,-4,-8)+(2,-4,4)=(6+2,-4+(-4),-8+4)=(8,-8,-4)$

Теперь проверим, будут ли векторы $\mathbf{c}$ и $\mathbf{d}$ коллинеарными. Векторы коллинеарны, если один из них можно выразить через другой с помощью скалярного умножения на какое-то число.

Проверим, есть ли такое число $k$, что: $\mathbf{c}=k\mathbf{d}$

Рассмотрим координаты: $(16,-16,-8)=k(8,-8,-4)$

Для этого должны выполняться следующие равенства:

1. $16=8k$
2. $-16=-8k$
3. $-8=-4k$

Решим каждое:

1. $16=8k\Rightarrow k=\frac{16}{8}=2$
2. $-16=-8k\Rightarrow k=\frac{-16}{-8}=2$
3. $-8=-4k\Rightarrow k=\frac{-8}{-4}=2$

Видим, что во всех трех случаях $k=2$. Следовательно, векторы $\mathbf{c}$ и $\mathbf{d}$ коллинеарны.

б) Теперь вычислим $2\mathbf{c}-3\mathbf{d}$.

1. Найдем $2\mathbf{c}$: $2\mathbf{c}=2(16,-16,-8)=(2\cdot 16,2\cdot -16,2\cdot -8)=(32,-32,-16)$

2. Найдем $3\mathbf{d}$: $3\mathbf{d}=3(8,-8,-4)=(3\cdot 8,3\cdot -8,3\cdot -4)=(24,-24,-12)$

Теперь вычислим разность: $2\mathbf{c}-3\mathbf{d}=(32,-32,-16)-(24,-24,-12)$ Выполним вычитание по координатам: $(32-24,-32-(-24),-16-(-12))=(32-24,-32+24,-16+12)=(8,-8,-4)$

Таким образом, $2\mathbf{c}-3\mathbf{d}=(8,-8,-4)$

а) Векторы c и d будут коллинеарными, если их координаты пропорциональны. Для этого проверим, равны ли отношения координат векторов c и d по модулю.

b) Вычислим 2c-3d: 2c = 2$4a-2b$ = 8a - 4b 3d = 3$2a-b$ = 6a - 3b 2c - 3d = 8a - 4b - 6a + 3b = 2a - b

а) Для того чтобы определить, будут ли векторы коллинеарными, нужно проверить, равны ли они пропорциональными. Сначала найдем векторы c и d: c = 4a - 2b = 4$3;-2;-4$ - 2$-2;4;-4$ = $12;-8;-16$ - $-4;8;-8$ = $16;-16;-8$ d = 2a - b = 2$3;-2;-4$ - $-2;4;-4$ = $6;-4;-8$ - $-2;4;-4$ = $8;-8;-4$

Теперь найдем отношение компонент векторов c и d: $16/8$ = 2 $-16/-8$ = 2 $-8/-4$ = 2

Таким образом, векторы c и d коллинеарны.

б) Теперь вычислим 2c - 3d: 2c = 2$16;-16;-8$ = $32;-32;-16$ 3d = 3$8;-8;-4$ = $24;-24;-12$

2c - 3d = $32;-32;-16$ - $24;-24;-12$ = $8;-8;-4$

Ответ: 2c - 3d = $8;-8;-4$