Для функции f(x)=2(x-1): a) найдите общий вид первообразных; б) напишите первообразную, график которой...

Для функции ( f(x) = 2(x - 1) ) найдем первообразную.

a) Общий вид первообразной

Первообразная функции ( f(x) ) обозначается ( F(x) ) и находится как неопределенный интеграл от ( f(x) ). То есть, нужно найти:

[ F(x) = \int 2(x - 1) \, dx ]

Для нахождения интеграла применим свойство линейности:

[ F(x) = \int 2(x - 1) \, dx = 2 \int (x - 1) \, dx ]

Теперь найдем интеграл от ( (x - 1) ):

[ \int (x - 1) \, dx = \int x \, dx - \int 1 \, dx = \frac{x^2}{2} - x + C ]

где ( C ) — произвольная постоянная интегрирования. Умножим результат на 2:

[ F(x) = 2 \left( \frac{x^2}{2} - x + C \right) = x^2 - 2x + 2C ]

Таким образом, общий вид первообразных функции ( f(x) = 2(x - 1) ) имеет вид:

[ F(x) = x^2 - 2x + C ]

b) Первообразная, график которой проходит через точку ( A(2; 4) )

Для того чтобы найти конкретную первообразную, график которой проходит через точку ( A(2; 4) ), подставим координаты этой точки в уравнение первообразной:

[ 4 = 2^2 - 2 \times 2 + C ]

[ 4 = 4 - 4 + C ]

[ 4 = C ]

Таким образом, конкретная первообразная, проходящая через точку ( A(2; 4) ), имеет вид:

[ F(x) = x^2 - 2x + 4 ]

a) Общий вид первообразной функции f(x)=2(x-1) будет иметь вид F(x)=x^2-2x+C, где C - произвольная постоянная.

b) Чтобы найти первообразную функции f(x), проходящую через точку A(2;4), подставим координаты точки A в общий вид первообразной: 4=2^2-2*2+C 4=4-4+C 4=0+C C=4

Таким образом, первообразная функции f(x)=2(x-1), проходящая через точку A(2;4), будет иметь вид F(x)=x^2-2x+4.