Для функции f(x)=2x^4 найдите первообразную F(x), график которой проходит через точку P(1;-2)
Для функции f(x)=2x^4 найдите первообразную F(x), график которой проходит через точку P(1;-2)
Первообразная функции F(x) = (2/5)x^5 + C, где C - произвольная постоянная. Так как график F(x) проходит через точку P(1;-2), то подставляя x=1 и y=-2 в уравнение F(x), получаем C = -2 - (2/5).
Для того чтобы найти первообразную ( F(x) ) функции ( f(x) = 2x^4 ), нужно выполнить интегрирование. Первообразная функции ( f(x) ) записывается как:
[ F(x) = \int f(x) \, dx = \int 2x^4 \, dx ]
При интегрировании степенной функции ( x^n ), мы используем правило:
[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ]
где ( C ) — это константа интегрирования. Применим это правило к функции ( 2x^4 ):
[ F(x) = \int 2x^4 \, dx = 2 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{2x^5}{5} + C ]
Таким образом, первообразная функции ( f(x) = 2x^4 ) имеет вид:
[ F(x) = \frac{2x^5}{5} + C ]
Теперь нужно определить константу ( C ), используя условие, что график функции ( F(x) ) проходит через точку ( P(1; -2) ). Это означает, что при ( x = 1 ) значение ( F(x) ) должно быть равно (-2):
[ F(1) = \frac{2(1)^5}{5} + C = -2 ]
Рассчитаем:
[ \frac{2 \cdot 1^5}{5} + C = -2 ]
[ \frac{2}{5} + C = -2 ]
Теперь решим это уравнение для ( C ):
[ C = -2 - \frac{2}{5} = -\frac{10}{5} - \frac{2}{5} = -\frac{12}{5} ]
Таким образом, константа ( C = -\frac{12}{5} ). Подставив её в выражение для первообразной, получаем:
[ F(x) = \frac{2x^5}{5} - \frac{12}{5} ]
Итак, первообразная ( F(x) ) функции ( f(x) = 2x^4 ), график которой проходит через точку ( P(1; -2) ), имеет вид:
[ F(x) = \frac{2x^5}{5} - \frac{12}{5} ]
Для нахождения первообразной функции F(x), проходящей через точку P(1;-2), необходимо проинтегрировать функцию f(x)=2x^4. Интегрируя данную функцию, получаем F(x) = (2/5)x^5 + C, где C - произвольная постоянная.
Чтобы найти конкретное значение постоянной С, подставим координаты точки P(1;-2) в уравнение функции F(x): -2 = (2/5)*1^5 + C -2 = 2/5 + C C = -2 - 2/5 C = -12/5
Таким образом, первообразная функции F(x) = (2/5)x^5 - 12/5, график которой проходит через точку P(1;-2), будет иметь уравнение F(x) = (2/5)x^5 - 12/5.
