для функции y=2/sqrt4x+13 -3/x^2 найдите ту первообразную график которой проходит через заданную a(-3;-2)
для функции y=2/sqrt4x+13 -3/x^2 найдите ту первообразную график которой проходит через заданную a(-3;-2)
Для того чтобы найти первообразную функции y=2/sqrt(4x)+13 - 3/x^2, проходящую через точку A(-3;-2), мы должны сначала найти первообразную самой функции.
Для этого разобьем функцию на две части: y=2/sqrt(4x)+13 - 3/x^2 = 2/(2*sqrt(x))+13 - 3/x^2 = 1/sqrt(x)+13 - 3/x^2.
Теперь найдем первообразную каждого из слагаемых. Для первого слагаемого 1/sqrt(x) первообразной будет 2*sqrt(x). Для второго слагаемого 13 первообразной будет 13x. Для третьего слагаемого -3/x^2 первообразной будет 3/x.
Таким образом, первообразная функции y=2/sqrt(4x)+13 - 3/x^2 будет равна 2*sqrt(x) + 13x - 3/x + C, где C - произвольная постоянная.
Теперь, чтобы найти значение постоянной С, подставим координаты точки A(-3;-2) в уравнение первообразной: -2 = 2sqrt(-3) + 13(-3) - 3/(-3) + C.
Решив это уравнение, найдем значение постоянной С, а затем у нас будет готовая первообразная функции, проходящая через заданную точку A(-3;-2).
Первообразная функции проходящая через точку a(-3;-2) имеет вид F(x) = 2sqrt(4x) + 13x + 3/x + C, где C - константа.
Для функции ( y = \frac{2}{\sqrt{4x + 13}} - \frac{3}{x^2} ) необходимо найти первообразную ( F(x) ), график которой проходит через точку ( a(-3, -2) ).
Рассмотрим отдельно каждое слагаемое функции ( y ):
Первообразная для функции (\frac{2}{\sqrt{4x + 13}}) находится методом подстановки. Введём замену переменной ( u = 4x + 13 ). Тогда ( du = 4 dx ) и ( dx = \frac{du}{4} ). Подставим это в интеграл:
[ \int \frac{2}{\sqrt{4x + 13}} \, dx = \int \frac{2}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{4} = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} \, du ]
Решим интеграл:
[ \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} \, du = \frac{1}{2} \cdot 2u^{\frac{1}{2}} = \sqrt{u} ]
Возвращаемся к исходной переменной:
[ \sqrt{u} = \sqrt{4x + 13} ]
Таким образом, первообразная для (\frac{2}{\sqrt{4x + 13}}) равна (\sqrt{4x + 13} + C_1).
Первообразная для функции (-\frac{3}{x^2}) находится стандартным методом интегрирования степенных функций. Напомним, что (\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}), для ( n \neq -1 ).
[ \int -\frac{3}{x^2} \, dx = -3 \int x^{-2} \, dx = -3 \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) = \frac{3}{x} ]
Таким образом, первообразная для (-\frac{3}{x^2}) равна (\frac{3}{x} + C_2).
Сложим найденные первообразные:
[ F(x) = \sqrt{4x + 13} + \frac{3}{x} + C ]
Используем информацию о том, что график первообразной проходит через точку ( a(-3, -2) ). Это означает, что ( F(-3) = -2 ).
Подставим ( x = -3 ) и ( F(x) = -2 ) в нашу первообразную:
[ -2 = \sqrt{4(-3) + 13} + \frac{3}{-3} + C ] [ -2 = \sqrt{-12 + 13} - 1 + C ] [ -2 = \sqrt{1} - 1 + C ] [ -2 = 1 - 1 + C ] [ -2 = 0 + C ] [ C = -2 ]
Подставив значение постоянной ( C ), получаем:
[ F(x) = \sqrt{4x + 13} + \frac{3}{x} - 2 ]
Таким образом, первообразная функции ( y = \frac{2}{\sqrt{4x + 13}} - \frac{3}{x^2} ), график которой проходит через точку ( a(-3, -2) ), равна:
[ F(x) = \sqrt{4x + 13} + \frac{3}{x} - 2 ]
