Доказать что число Т=6п является периодом функции y=cos x/3

Для того чтобы доказать, что число T=6π является периодом функции y=cos(x/3), нужно показать, что функция y=cos(x/3) обладает свойством периодичности с периодом T=6π.

Для этого рассмотрим функцию y=cos(x/3). Период функции - это такое число T, при котором выполняется равенство f(x+T) = f(x) для любого x из области определения функции.

Для функции y=cos(x/3) имеем: cos((x+6π)/3) = cos(x/3 + 2π) = cos(x/3) для любого x из области определения функции, что означает, что функция y=cos(x/3) является периодичной с периодом T=6π.

Таким образом, доказано, что число T=6π является периодом функции y=cos(x/3).

Чтобы доказать, что число ( T = 6\pi ) является периодом функции ( y = \cos\left(\frac{x}{3}\right) ), нужно показать, что для любого значения ( x ) выполняется равенство:

[ \cos\left(\frac{x + T}{3}\right) = \cos\left(\frac{x}{3}\right) ]

Подставим ( T = 6\pi ) в это равенство:

[ \cos\left(\frac{x + 6\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{x}{3}\right) ]

Упростим левую часть:

[ \cos\left(\frac{x}{3} + \frac{6\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{x}{3} + 2\pi\right) ]

Воспользуемся основным свойством косинуса, что (\cos(\theta + 2\pi) = \cos(\theta)) для любого угла (\theta):

[ \cos\left(\frac{x}{3} + 2\pi\right) = \cos\left(\frac{x}{3}\right) ]

Таким образом, мы видим, что равенство выполняется, и ( T = 6\pi ) действительно является периодом функции ( y = \cos\left(\frac{x}{3}\right) ).

Это объясняется тем, что период основной функции ( y = \cos(x) ) равен ( 2\pi ). Когда аргумент косинуса изменяется в ( \frac{x}{3} ), период изменяется пропорционально коэффициенту перед ( x ). В данном случае, если ( x ) заменяется на ( \frac{x}{3} ), то период увеличивается в 3 раза: ( 2\pi \times 3 = 6\pi ).

Следовательно, ( T = 6\pi ) является периодом функции ( y = \cos\left(\frac{x}{3}\right) ).