докажите, что многочлен x^3 - 2x^2 - 2x + 3 Делится нацело на многочлен x^2 - x - 3
докажите, что многочлен x^3 - 2x^2 - 2x + 3 Делится нацело на многочлен x^2 - x - 3
Для того чтобы доказать, что многочлен (x^3 - 2x^2 - 2x + 3) делится нацело на многочлен (x^2 - x - 3), нужно найти остаток от деления первого многочлена на второй и убедиться, что этот остаток равен нулю.
Для начала разделим многочлен (x^3 - 2x^2 - 2x + 3) на (x^2 - x - 3) с помощью долгого деления или синтетического деления. Получим:
[ \begin{array}{r|llll} x^3 - 2x^2 - 2x + 3 & x^2 - x - 3 & x - 1 \ \cline{1-2} -(x^3 - x^2 - 3x) \
Таким образом, после деления многочлена (x^3 - 2x^2 - 2x + 3) на (x^2 - x - 3) получаем остаток равный (x), что означает, что многочлен не делится нацело на (x^2 - x - 3).
Для доказательства деления многочлена нацело на другой многочлен необходимо показать, что остаток от деления равен 0. Для этого можно воспользоваться алгоритмом синтетического деления.
Чтобы доказать, что многочлен (x^3 - 2x^2 - 2x + 3) делится на многочлен (x^2 - x - 3) без остатка, мы можем использовать метод многочленного деления или проверить, что остаток от деления равен нулю.
Начало деления:
Рассмотрим деление (x^3 - 2x^2 - 2x + 3) на (x^2 - x - 3).
Первый шаг деления:
Делим первый член делимого (x^3) на первый член делителя (x^2), получаем (x).
Умножаем (x) на весь делитель (x^2 - x - 3):
[ x \cdot (x^2 - x - 3) = x^3 - x^2 - 3x ]
Вычитаем результат умножения из делимого:
[ (x^3 - 2x^2 - 2x + 3) - (x^3 - x^2 - 3x) = -x^2 + x + 3 ]
Второй шаг деления:
Делим первый член нового многочлена (-x^2) на первый член делителя (x^2), получаем (-1).
Умножаем (-1) на весь делитель:
[ -1 \cdot (x^2 - x - 3) = -x^2 + x + 3 ]
Вычитаем результат умножения:
[ (-x^2 + x + 3) - (-x^2 + x + 3) = 0 ]
Поскольку остаток от деления равен нулю, это подтверждает, что (x^3 - 2x^2 - 2x + 3) делится на (x^2 - x - 3) нацело.
Таким образом, мы доказали, что многочлен (x^3 - 2x^2 - 2x + 3) действительно делится на многочлен (x^2 - x - 3) без остатка.
