Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения 2/3+b^2 - 12/b^4-9 - 2/3-b^2...

Давайте рассмотрим выражение ( \frac{2}{3 + b^2} - \frac{12}{b^4 - 9} - \frac{2}{3 - b^2} ) и докажем, что его значение положительно для всех допустимых значений переменной ( b ).

Для начала упростим это выражение. Обратим внимание на знаменатель второго дробного члена:

[ b^4 - 9 = (b^2)^2 - 3^2 = (b^2 - 3)(b^2 + 3). ]

Теперь перепишем наше выражение, используя этот результат:

[ \frac{2}{3 + b^2} - \frac{12}{(b^2 - 3)(b^2 + 3)} - \frac{2}{3 - b^2}. ]

Объединим дроби, чтобы упростить выражение. Для этого найдем общий знаменатель:

[ \frac{2}{3 + b^2} - \frac{12}{(b^2 - 3)(b^2 + 3)} - \frac{2}{3 - b^2} = \frac{2(3 - b^2) - 12 - 2(3 + b^2)}{(3 + b^2)(b^2 - 3)}. ]

Теперь упростим числитель:

[ 2(3 - b^2) - 12 - 2(3 + b^2) = 6 - 2b^2 - 12 - 6 - 2b^2 = -4b^2 - 12. ]

Таким образом, наше выражение становится:

[ \frac{-4b^2 - 12}{(3 + b^2)(b^2 - 3)}. ]

Перепишем числитель как:

[ -4(b^2 + 3). ]

Теперь наше выражение имеет вид:

[ \frac{-4(b^2 + 3)}{(3 + b^2)(b^2 - 3)}. ]

Обратите внимание, что числитель и один из множителей в знаменателе одинаковы, что позволяет нам сократить дробь:

[ \frac{-4(b^2 + 3)}{(b^2 + 3)(b^2 - 3)} = \frac{-4}{b^2 - 3}. ]

Теперь рассмотрим знак выражения ( \frac{-4}{b^2 - 3} ):

1. При ( b^2 > 3 ), знаменатель ( b^2 - 3 ) положителен, а числитель отрицателен. Следовательно, ( \frac{-4}{b^2 - 3} ) отрицателен.
2. При ( b^2 < 3 ), знаменатель ( b^2 - 3 ) отрицателен, а числитель отрицателен. Следовательно, ( \frac{-4}{b^2 - 3} ) положителен.
3. При ( b^2 = 3 ) знаменатель равен нулю, и выражение не определено.

Следовательно, ( \frac{-4}{b^2 - 3} ) положительно при ( b^2 < 3 ), и отрицательно при ( b^2 > 3 ). Таким образом, наше исходное выражение положительно только при ( b^2 < 3 ), что противоречит цели доказать его положительность при всех допустимых значениях переменной.

Таким образом, наше выражение не является положительным для всех допустимых значений переменной ( b ).

Для того чтобы доказать, что значение выражения 2/3 + b^2 - 12/b^4 - 9 - 2/3 - b^2 является положительным при всех допустимых значениях переменной b, нужно проанализировать знак данного выражения.

Для начала преобразуем выражение:

2/3 + b^2 - 12/b^4 - 9 - 2/3 - b^2 = = (2/3 - 2/3) + (b^2 - b^2) - 12/b^4 - 9 = = 0 - 12/b^4 - 9 = = -12/b^4 - 9

Теперь выражение принимает вид -12/b^4 - 9. Для того чтобы доказать, что данное выражение положительно при всех допустимых значениях переменной b, нужно убедиться, что оно всегда меньше нуля.

При анализе данного выражения можно заметить, что при любом допустимом значении переменной b, знаменатель b^4 всегда положителен (так как квадрат любого числа всегда неотрицателен), а значит, знак выражения зависит только от числителя -12.

Таким образом, значение выражения -12/b^4 - 9 всегда будет меньше нуля при всех допустимых значениях переменной b, а значит, оно отрицательно, а не положительно.

Следовательно, доказать положительность данного выражения при всех допустимых значениях переменной b невозможно.