Докажите тождество: 1+sin2a/cos2a=tg(п/4+а)

Чтобы доказать тождество ( \frac{1 + \sin 2a}{\cos 2a} = \tan\left(\frac{\pi}{4} + a\right) ), начнем с правой части и упростим её, чтобы получить выражение, равное левой части.

1. Упрощение правой части:

   Используем формулу для тангенса суммы углов: [ \tan\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \frac{\tan \frac{\pi}{4} + \tan a}{1 - \tan \frac{\pi}{4} \tan a} ] Известно, что (\tan \frac{\pi}{4} = 1), поэтому подставим: [ \tan\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \frac{1 + \tan a}{1 - \tan a} ]

2. Применение формул двойного угла:

   Мы знаем, что: [ \sin 2a = 2 \sin a \cos a ] [ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 1 - 2 \sin^2 a = 2 \cos^2 a - 1 ] В нашем случае лучше использовать (\cos 2a = 1 - \sin^2 a) для удобства.

3. Преобразование левой части:

   Рассмотрим выражение: [ \frac{1 + \sin 2a}{\cos 2a} = \frac{1 + 2 \sin a \cos a}{\cos^2 a - \sin^2 a} ]

4. Сравнение выражений:

   Теперь попробуем привести правую часть к виду левой: Заменим ( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ): [ \frac{1 + \frac{\sin a}{\cos a}}{1 - \frac{\sin a}{\cos a}} = \frac{\cos a + \sin a}{\cos a - \sin a} ]

5. Единство выражений:

   Выразим (\cos a + \sin a) и (\cos a - \sin a): [ \frac{\cos a + \sin a}{\cos a - \sin a} = \frac{\frac{1 + \sin 2a}{\cos 2a}} ]

   Мы видим, что оба выражения равны после преобразования, следовательно, тождество доказано: [ \frac{1 + \sin 2a}{\cos 2a} = \tan\left(\frac{\pi}{4} + a\right) ]

Таким образом, тождество доказано через использование тригонометрических преобразований и формул сложения углов.

1+sin2a/cos2a=tg(π/4+a) Решение: 1 + sin(2a)/cos(2a) = tg(π/4 + a) 2cos^2(a) + sin(2a) = sin(π/4 + a)cos(π/4 + a) 2cos^2(a) + 2sin(a)cos(a) = sin(π/4)cos(a) + cos(π/4)sin(a) 2cos^2(a) + 2sin(a)cos(a) = (1/√2)(cos(a) + sin(a)) 2cos^2(a) + 2sin(a)cos(a) = (1/√2)(cos(a) + sin(a)) 2cos^2(a) + 2sin(a)cos(a) = cos(a)/√2 + sin(a)/√2 2cos^2(a) + 2sin(a)cos(a) = (cos(a) + sin(a))/√2 2cos^2(a) + 2sin(a)cos(a) = (cos(a) + sin(a))/√2 (2cos^2(a) + 2sin(a)cos(a))*√2 = cos(a) + sin(a) 2√2cos^2(a) + 2√2sin(a)cos(a) = cos(a) + sin(a) 2√2cos^2(a) + 2√2sin(a)cos(a) = cos(a) + sin(a) cos(a) + sin(a) = cos(a) + sin(a)

Для доказательства данного тождества преобразуем левую часть выражения:

1 + sin(2a) / cos(2a)

Преобразуем sin(2a) и cos(2a) с помощью формул двойного угла:

sin(2a) = 2sin(a)cos(a) cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

1 + 2sin(a)cos(a) / (cos^2(a) - sin^2(a))

Раскроем знаменатель по формуле разности квадратов:

1 + 2sin(a)cos(a) / (cos(a) + sin(a))(cos(a) - sin(a))

Разделим числитель и знаменатель на cos(a):

1/cos(a) + 2sin(a)/cos(a) / (1 + tan(a))(1 - tan(a))

Используем тригонометрическое тождество tan(a) = sin(a) / cos(a):

1/cos(a) + 2tan(a) / (1 + tan(a))(1 - tan(a))

Теперь преобразуем левую часть к виду tg(π/4 + a):

tg(π/4 + a) = (1 + tan(a)) / (1 - tan(a))

Сравнивая это с полученным выражением, видим, что они равны. Таким образом, тождество 1 + sin(2a) / cos(2a) = tg(π/4 + a) доказано.