Докажите тождество ctgt * sin^2t=(tgt+ctgt)^-1

Для доказательства данного тождества необходимо использовать тригонометрические тождества и алгебраические преобразования.

Для доказательства данного тождества воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Имеем: ctg(t) sin^2(t) = ctg(t) (1 - cos^2(t)) = ctg(t) - ctg(t) cos^2(t) = ctg(t) - ctg(t) (1 - sin^2(t)) = ctg(t) - ctg(t) + ctg(t) sin^2(t) = ctg(t) sin^2(t).

Теперь заметим, что (ctg(t) + ctg(t))^-1 = 1 / (2ctg(t)) = sin(t) / (2cos(t)) = sin(t) sin(t) / (2 sin(t) cos(t)) = (sin^2(t) + ctg(t) sin^2(t)) / (2sin(t) cos(t)) = (t sin^2(t)) / (2sin(t) cos(t)) = ctg(t) sin^2(t).

Таким образом, мы доказали тождество ctg(t) * sin^2(t) = (ctg(t) + ctg(t))^-1.

Давайте докажем данное тождество: ( \cot t \cdot \sin^2 t = (\tan t + \cot t)^{-1} ).

Для начала, напомним определение тригонометрических функций, которые участвуют в данном тождестве:

• (\tan t = \frac{\sin t}{\cos t})
• (\cot t = \frac{\cos t}{\sin t})

Теперь начнем с левой части тождества:

[ \cot t \cdot \sin^2 t = \left( \frac{\cos t}{\sin t} \right) \cdot \sin^2 t ]

Упрощаем выражение:

[ = \cos t \cdot \sin t ]

Теперь рассмотрим правую часть тождества:

[ (\tan t + \cot t)^{-1} = \left( \frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} \right)^{-1} ]

Приведем к общему знаменателю:

[ = \left( \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin t \cdot \cos t} \right)^{-1} ]

Используя основное тригонометрическое тождество (\sin^2 t + \cos^2 t = 1), получаем:

[ = \left( \frac{1}{\sin t \cdot \cos t} \right)^{-1} ]

Упрощаем выражение:

[ = \sin t \cdot \cos t ]

Теперь мы видим, что левая и правая часть тождества равны:

[ \cos t \cdot \sin t = \sin t \cdot \cos t ]

Таким образом, тождество доказано.