Докажите тождество: sin^4a + cos^4a=(1+cos^2(2a))/2 Помогите пожалуйста!)

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой для разложения ( \sin^2x ) и ( \cos^2x ) через ( \cos(2x) ):

[ \sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} ] [ \cos^2x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} ]

Теперь подставим эти формулы в исходное тождество:

[ \sin^4a + \cos^4a = \left(\frac{1 - \cos(2a)}{2}\right)^2 + \left(\frac{1 + \cos(2a)}{2}\right)^2 ] [ = \frac{1 - 2\cos(2a) + \cos^2(2a)}{4} + \frac{1 + 2\cos(2a) + \cos^2(2a)}{4} ] [ = \frac{2 + 2\cos^2(2a)}{4} ] [ = \frac{1 + \cos^2(2a)}{2} ]

Таким образом, мы доказали исходное тождество: ( \sin^4a + \cos^4a = \frac{1 + \cos^2(2a)}{2} ).

Чтобы доказать тождество (\sin^4 a + \cos^4 a = \frac{1 + \cos^2(2a)}{2}), начнём с левой части и преобразуем её.

1. Используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 a + \cos^2 a = 1. ]

2. Запишем (\sin^4 a + \cos^4 a) в виде: [ \sin^4 a + \cos^4 a = (\sin^2 a)^2 + (\cos^2 a)^2. ]

3. Применим формулу суммы квадратов: [ x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy. ] В нашем случае (x = \sin^2 a) и (y = \cos^2 a), тогда: [ \sin^4 a + \cos^4 a = (\sin^2 a + \cos^2 a)^2 - 2\sin^2 a \cos^2 a. ]

4. Подставляем (\sin^2 a + \cos^2 a = 1): [ \sin^4 a + \cos^4 a = 1^2 - 2\sin^2 a \cos^2 a = 1 - 2\sin^2 a \cos^2 a. ]

5. Теперь выразим (\sin^2 a \cos^2 a) через (\cos(2a)): [ \sin^2 a \cos^2 a = \left(\frac{1}{2} \sin(2a)\right)^2 = \frac{1}{4} \sin^2(2a). ]

6. Используем тождество для косинуса двойного угла: [ \cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 1 - 2\sin^2 a = 2\cos^2 a - 1. ]

   Отсюда: [ \sin^2(2a) = 1 - \cos^2(2a). ]

7. Подставим (\sin^2(2a) = 1 - \cos^2(2a)) в выражение для (\sin^4 a + \cos^4 a): [ 1 - 2\sin^2 a \cos^2 a = 1 - \frac{1}{2}(1 - \cos^2(2a)). ]

8. Упростим выражение: [ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos^2(2a) = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos^2(2a) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos^2(2a). ]

Таким образом, мы получили: [ \sin^4 a + \cos^4 a = \frac{1 + \cos^2(2a)}{2}. ]

Тождество доказано.