Докажите,что число Т=пи/2 является периодом функции y=sin 4x

Период функции y = sin 4x равен pi/2, так как sin(4(x + pi/2)) = sin(4x + 2pi) = sin(4x).

Чтобы доказать, что число ( T = \frac{\pi}{2} ) является периодом функции ( y = \sin 4x ), необходимо показать, что функция повторяет свои значения через этот интервал. Формально, мы должны показать, что для любого значения ( x ) выполняется следующее уравнение:

[ \sin 4(x + T) = \sin 4x ]

где ( T = \frac{\pi}{2} ).

Подставим ( T ) в уравнение и упростим:

1. Вычислим левую часть:

[ \sin 4(x + \frac{\pi}{2}) = \sin (4x + 4 \cdot \frac{\pi}{2}) = \sin (4x + 2\pi) ]

1. Используем основное свойство функции синуса, а именно ее периодичность: (\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta) для любого угла (\theta).

Применяя это свойство, получаем:

[ \sin (4x + 2\pi) = \sin 4x ]

Таким образом, мы видим, что:

[ \sin 4(x + \frac{\pi}{2}) = \sin 4x ]

Следовательно, ( T = \frac{\pi}{2} ) действительно является периодом функции ( y = \sin 4x ).

Это означает, что функция ( y = \sin 4x ) повторяет свои значения через каждое увеличение аргумента на (\frac{\pi}{2}).

Функция y = sin(4x) имеет период, равный 2π/4 = π/2. Это означает, что функция повторяет свои значения через каждый интервал длиной в π/2. Таким образом, если мы возьмем число Т = π/2, то функция sin(4x) будет иметь тот же вид при любом значении x, как и при x + π/2. Следовательно, число Т = π/2 является периодом функции y = sin(4x).