Докажите,что при всех допустимых значениях а выражение тождественно равно нулю: 1)(4(а+1)/(а^3-8))+(a/a^2+2a+4)+(1/2-a)....

Чтобы доказать тождественность выражения ( \frac{4(a+1)}{a^3-8} + \frac{a}{a^2 + 2a + 4} + \frac{1}{2-a} = 0 ) при всех допустимых значениях ( a ), сначала упростим каждую из частей выражения.

1. Упростим первое слагаемое: Выражение ( a^3 - 8 ) можно разложить на множители: [ a^3 - 8 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4) ] Таким образом, первое слагаемое можно записать как: [ \frac{4(a+1)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} ]

2. Упростим второе слагаемое: Второе слагаемое уже представлено в удобном виде: [ \frac{a}{a^2 + 2a + 4} ]

3. Третье слагаемое: Третье слагаемое также представлено в удобном виде: [ \frac{1}{2 - a} ]

Теперь объединим все три слагаемых под общий знаменатель. Общим знаменателем будет ( (a - 2)(a^2 + 2a + 4) ).

1. Запишем выражение с общим знаменателем: Первое слагаемое: [ \frac{4(a+1)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} ] Второе слагаемое: [ \frac{a(a - 2)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} = \frac{a^2 - 2a}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} ] Третье слагаемое: [ \frac{(1)(a^2 + 2a + 4)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} = \frac{a^2 + 2a + 4}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} ]

Теперь все слагаемые под общим знаменателем: [ \frac{4(a + 1) + (a^2 - 2a) + (a^2 + 2a + 4)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} = 0 ]

1. Упростим числитель: Объединим все слагаемые в числителе: [ 4(a + 1) + (a^2 - 2a) + (a^2 + 2a + 4) = 4a + 4 + a^2 - 2a + a^2 + 2a + 4 ] Соберем подобные слагаемые: [ 2a^2 + 4a + 8 ]

2. Проверим, равен ли числитель нулю: Теперь нам нужно проверить, равен ли числитель ( 2a^2 + 4a + 8 ) нулю. Это квадратное уравнение. Дискриминант ( D ) у этого уравнения: [ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 16 - 64 = -48 ] Дискриминант отрицательный, что означает, что уравнение не имеет действительных корней и, следовательно, ( 2a^2 + 4a + 8 ) никогда не равен нулю.

Таким образом, исходное выражение: [ \frac{4(a + 1)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} + \frac{a}{a^2 + 2a + 4} + \frac{1}{2 - a} = 0 ] тождественно равно нулю при всех допустимых значениях ( a ), кроме тех, при которых знаменатели равны нулю (то есть, ( a \neq 2 ) и ( a^2 + 2a + 4 \neq 0 ), что всегда верно).

Таким образом, мы доказали, что данное выражение тождественно равно нулю.

Давайте разберем данное выражение и докажем, что оно тождественно равно нулю при всех допустимых значениях ( a ). Вот ваше выражение:

[ \frac{4(a+1)}{a^3 - 8} + \frac{a}{a^2 + 2a + 4} + \left(\frac{1}{2} - a \right). ]

Шаг 1. Заметим особенности знаменателей

1. В первом слагаемом знаменатель ( a^3 - 8 ) можно разложить на множители, используя формулу разности кубов: [ a^3 - 8 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4). ] Таким образом, первое слагаемое запишется так: [ \frac{4(a+1)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}. ]

2. Во втором слагаемом знаменатель ( a^2 + 2a + 4 ) уже нельзя разложить на более простые множители, так как он является неприводимым многочленом. Так и оставляем: [ \frac{a}{a^2 + 2a + 4}. ]

3. Третье слагаемое (\frac{1}{2} - a) не имеет дробей, поэтому его оставляем как есть.

Теперь выражение принимает вид: [ \frac{4(a+1)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} + \frac{a}{a^2 + 2a + 4} + \left(\frac{1}{2} - a \right). ]

Шаг 2. Приведение к общему знаменателю

Общий знаменатель для первых двух дробей — это произведение ( (a - 2)(a^2 + 2a + 4) ), так как вторая дробь уже имеет знаменатель ( a^2 + 2a + 4 ), а первая дробь содержит оба множителя. Третье слагаемое мы позже учтем отдельно.

Шаг 3. Преобразование первых двух дробей

1. Первая дробь: [ \frac{4(a+1)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} \quad \text{(оставляем как есть)}. ]

2. Вторая дробь: [ \frac{a}{a^2 + 2a + 4}. ] Приведем её к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель на ( a - 2 ): [ \frac{a}{a^2 + 2a + 4} = \frac{a(a - 2)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}. ]

Теперь обе дроби имеют общий знаменатель, и их можно сложить: [ \frac{4(a+1)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} + \frac{a(a - 2)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}. ]

Шаг 4. Сложение первых двух дробей

Сложим числители: [ 4(a+1) + a(a - 2) = 4a + 4 + a^2 - 2a = a^2 + 2a + 4. ]

Таким образом, сумма первых двух дробей: [ \frac{4(a+1)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} + \frac{a(a - 2)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} = \frac{a^2 + 2a + 4}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}. ]

Заметим, что числитель ( a^2 + 2a + 4 ) сокращается с одной из таких же частей знаменателя: [ \frac{a^2 + 2a + 4}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} = \frac{1}{a - 2}. ]

Теперь наше выражение упрощается до: [ \frac{1}{a - 2} + \left(\frac{1}{2} - a \right). ]

Шаг 5. Приведение оставшихся слагаемых к общему знаменателю

Сложим ( \frac{1}{a - 2} ) и ( \frac{1}{2} - a ). Общий знаменатель для ( \frac{1}{a - 2} ) и оставшегося выражения — ( a - 2 ). Преобразуем: [ \frac{1}{a - 2} \quad \text{(оставляем как есть)}. ] А ( \frac{1}{2} - a ) перепишем как: [ \frac{1}{2} - a = \frac{1}{2} - \frac{2a - 4}{2(a - 2)}. ]