Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости...

Давайте решим эту задачу, используя алгебраический подход. Обозначим скорость второго автомобиля как ( v ) км/ч. Тогда скорость первого автомобиля будет ( v + 10 ) км/ч.

Поскольку расстояние между городами одинаково для обоих автомобилей и равно 560 км, мы можем записать время, затраченное каждым автомобилем, через скорость и расстояние. Время — это расстояние, деленное на скорость. Следовательно, время, за которое первый автомобиль проезжает 560 км, равно ( \frac{560}{v + 10} ) часов, а время второго автомобиля — ( \frac{560}{v} ) часов.

Из условия задачи известно, что первый автомобиль приезжает на 1 час раньше второго. Это дает нам уравнение: [ \frac{560}{v} - \frac{560}{v + 10} = 1 ]

Для удобства решения преобразуем это уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю: [ \frac{560(v + 10) - 560v}{v(v + 10)} = 1 ] [ \frac{560v + 5600 - 560v}{v(v + 10)} = 1 ] [ \frac{5600}{v(v + 10)} = 1 ] [ 5600 = v(v + 10) ] [ v^2 + 10v - 5600 = 0 ]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Решим его через дискриминант. Дискриминант (( D )) квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) рассчитывается по формуле: [ D = b^2 - 4ac ] В нашем случае: [ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5600) = 100 + 22400 = 22500 ] [ \sqrt{D} = 150 ]

Теперь найдем корни уравнения: [ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm 150}{2} ] [ v_1 = \frac{140}{2} = 70, \quad v_2 = \frac{-160}{2} = -80 ]

Отрицательное значение скорости не имеет физического смысла, поэтому берем ( v = 70 ) км/ч — скорость второго автомобиля. Скорость первого автомобиля тогда будет ( 70 + 10 = 80 ) км/ч.

Итак, скорость второго автомобиля 70 км/ч, а скорость первого автомобиля 80 км/ч.

Обозначим скорость первого автомобиля как V1 км/ч, а скорость второго автомобиля как V2 км/ч. Тогда у нас есть два уравнения:

1. V1 = V2 + 10
2. 560/V1 = 560/V2 + 1

Заменим V1 во втором уравнении на выражение из первого уравнения:

560/(V2 + 10) = 560/V2 + 1

Упростим уравнение, умножив обе стороны на V2(V2 + 10):

560V2 = 560(V2 + 10) + V2(V2 + 10)

Раскроем скобки:

560V2 = 560V2 + 5600 + V2^2 + 10V2

Упростим:

0 = V2^2 + 10V2 - 5600

Теперь решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

D = (10)^2 - 41(-5600) = 100 + 22400 = 22500

Теперь найдем корни уравнения:

V2 = (-10 ± √22500) / 2 = (-10 ± 150) / 2

V2 = (-10 + 150) / 2 = 140/2 = 70 км/ч или V2 = (-10 - 150) / 2 = -160/2 = -80 км/ч

Так как скорость не может быть отрицательной, отбросим -80 км/ч. Итак, скорость второго автомобиля равна 70 км/ч. Тогда скорость первого автомобиля:

V1 = 70 + 10 = 80 км/ч

Итак, скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, а скорость второго автомобиля равна 70 км/ч.