Два велосипедиста одновременно отправились в 150-километровый заезд. Первый ехал со скоростью, на 5...

Давайте решим задачу, используя алгебру. Обозначим скорость второго велосипедиста за ( x ) км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста будет ( x + 5 ) км/ч, так как он ехал на 5 км/ч быстрее.

1. Время, затраченное каждым велосипедистом

Время, затраченное на прохождение пути, можно выразить, разделив расстояние на скорость. Расстояние равно 150 км. Тогда:

• Время второго велосипедиста: ( \frac{150}{x} ) часов.
• Время первого велосипедиста: ( \frac{150}{x+5} ) часов.

По условию задачи, первый велосипедист приехал на 5 часов раньше второго. Значит, разность их времён составляет 5 часов: [ \frac{150}{x} - \frac{150}{x+5} = 5. ]

2. Решение уравнения

Уравнение нужно решить относительно ( x ). Приведём дроби к общему знаменателю: [ \frac{150(x+5) - 150x}{x(x+5)} = 5. ]

Раскроем скобки в числителе: [ \frac{150x + 750 - 150x}{x(x+5)} = 5. ]

Сократим ( 150x ) в числителе: [ \frac{750}{x(x+5)} = 5. ]

Умножим обе части уравнения на ( x(x+5) ), чтобы убрать знаменатель (при этом предполагаем, что ( x > 0 ), иначе скорости не имеют физического смысла): [ 750 = 5x(x+5). ]

Раскроем скобки: [ 750 = 5x^2 + 25x. ]

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения: [ 150 = x^2 + 5x. ]

Приведём уравнение к стандартному виду: [ x^2 + 5x - 150 = 0. ]

3. Решение квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение ( x^2 + 5x - 150 = 0 ) с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 25 + 600 = 625. ]

Корни уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{-5 \pm 25}{2}. ]

Вычислим оба корня: [ x_1 = \frac{-5 + 25}{2} = \frac{20}{2} = 10, ] [ x_2 = \frac{-5 - 25}{2} = \frac{-30}{2} = -15. ]

Так как скорость не может быть отрицательной, принимаем ( x = 10 ) км/ч.

4. Найдём скорость первого велосипедиста

Скорость первого велосипедиста на 5 км/ч больше скорости второго: [ x + 5 = 10 + 5 = 15 \, \text{км/ч}. ]

Ответ:

Скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, равна 15 км/ч.

Проверка:

• Время второго велосипедиста: ( \frac{150}{10} = 15 ) часов.
• Время первого велосипедиста: ( \frac{150}{15} = 10 ) часов.
• Разность во времени: ( 15 - 10 = 5 ) часов, что соответствует условию задачи.

Задача решена верно.

Обозначим скорость второго велосипедиста как ( v ) км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста будет ( v + 5 ) км/ч.

Пусть время, затраченное вторым велосипедистом на заезд, равно ( t ) часов. Тогда время, затраченное первым велосипедистом, будет ( t - 5 ) часов, так как он пришел к финишу на 5 часов раньше.

Согласно формуле расстояния ( S = V \cdot T ), можем записать для обоих велосипедистов:

1. Для второго велосипедиста: [ 150 = v \cdot t ] Отсюда выразим ( t ): [ t = \frac{150}{v} ]

2. Для первого велосипедиста: [ 150 = (v + 5) \cdot (t - 5) ] Теперь подставим выражение для ( t ): [ 150 = (v + 5) \cdot \left(\frac{150}{v} - 5\right) ]

Теперь раскроем скобки: [ 150 = (v + 5) \cdot \left(\frac{150 - 5v}{v}\right) ]

Умножим обе стороны уравнения на ( v ) (при ( v > 0 )): [ 150v = (v + 5)(150 - 5v) ]

Раскроем скобки: [ 150v = 150v - 5v^2 + 750 - 25v ] Сократим ( 150v ) с обеих сторон: [ 0 = -5v^2 + 750 - 25v ] Упрощаем уравнение: [ 5v^2 - 25v - 750 = 0 ]

Разделим все на 5: [ v^2 - 5v - 150 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы: [ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 1, b = -5, c = -150 ): [ v = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150)}}{2 \cdot 1} ] [ v = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 600}}{2} ] [ v = \frac{5 \pm \sqrt{625}}{2} ] [ v = \frac{5 \pm 25}{2} ]

Теперь найдем два возможных значения:

1. ( v = \frac{30}{2} = 15 ) км/ч (вторая скорость)
2. ( v = \frac{-20}{2} = -10 ) км/ч (отрицательная скорость не имеет смысла)

Таким образом, скорость второго велосипедиста равна ( 15 ) км/ч. Теперь найдем скорость первого: [ v + 5 = 15 + 5 = 20 \text{ км/ч} ]

Итак, скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, составляет 20 км/ч.