Два велосипедиста одновременно отправляются в 180-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 5 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым.
Два велосипедиста одновременно отправляются в 180-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 5 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым.
Пусть скорость второго велосипедиста равна v км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста будет равна v + 5 км/ч.
Используем формулу расстояния: 180 = v t2, где t2 - время, за которое второй велосипедист проходит 180 км 180 = (v + 5) (t2 - 3), так как первый велосипедист прибывает на 3 часа раньше
Решим систему уравнений: 180 = v t2 180 = (v + 5) (t2 - 3)
Распишем второе уравнение: 180 = v t2 - 3v + 5t2 - 15 180 = v t2 + 5t2 - 3v - 15 180 = 180 + 5t2 - 3v - 15 0 = 5t2 - 3v - 15
Теперь подставим первое уравнение в полученное: 0 = 5 * 180 / v - 3v - 15 0 = 900 / v - 3v - 15 3v^2 + 15v - 900 = 0
Решив квадратное уравнение, найдем, что v = 15 или v = -20. Так как скорость не может быть отрицательной, то v = 15 км/ч.
Теперь найдем скорость первого велосипедиста: v + 5 = 15 + 5 = 20 км/ч
Итак, скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, равна 20 км/ч.
Рассмотрим задачу более детально. Обозначим скорость второго велосипедиста через ( v ) км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста будет ( v + 5 ) км/ч.
Так как первый велосипедист прибывает к финишу на 3 часа раньше, чем второй, то можем записать время, затраченное каждым из них на преодоление дистанции в 180 км. Время, затраченное на путь, равно расстояние, делённое на скорость.
Для второго велосипедиста время в пути составит: [ t_2 = \frac{180}{v} ]
Для первого велосипедиста время в пути составит: [ t_1 = \frac{180}{v + 5} ]
По условию задачи известно, что первый велосипедист прибывает на 3 часа раньше второго: [ t_2 = t_1 + 3 ]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ) в это уравнение: [ \frac{180}{v} = \frac{180}{v + 5} + 3 ]
Теперь решим это уравнение для ( v ). Для начала упростим его, умножив все члены на ( v(v + 5) ), чтобы избавиться от дробей: [ 180(v + 5) = 180v + 3v(v + 5) ]
Раскроем скобки: [ 180v + 900 = 180v + 3v^2 + 15v ]
Перенесём все члены на одну сторону уравнения: [ 900 = 3v^2 + 15v ]
Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения: [ 300 = v^2 + 5v ]
Получаем квадратное уравнение: [ v^2 + 5v - 300 = 0 ]
Решим это уравнение методом дискриминанта. Дискриминант для уравнения вида ( ax^2 + bx + c = 0 ) вычисляется по формуле: [ D = b^2 - 4ac ]
Подставим наши значения ( a = 1 ), ( b = 5 ), ( c = -300 ): [ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) ] [ D = 25 + 1200 ] [ D = 1225 ]
Корни квадратного уравнения находятся по формуле: [ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]
Подставим наши значения: [ v = \frac{-5 \pm \sqrt{1225}}{2} ] [ v = \frac{-5 \pm 35}{2} ]
Получаем два корня: [ v_1 = \frac{30}{2} = 15 ] [ v_2 = \frac{-40}{2} = -20 ]
Поскольку отрицательная скорость не имеет физического смысла, остаётся только один допустимый корень: [ v = 15 ]
Таким образом, скорость второго велосипедиста составляет 15 км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста, пришедшего к финишу первым, будет: [ v + 5 = 15 + 5 = 20 ]
Ответ: скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, равна 20 км/ч.
Пусть скорость второго велосипедиста равна V км/ч, тогда скорость первого велосипедиста будет равна (V+5) км/ч. Учитывая, что время = расстояние / скорость, можно составить уравнение: 180 / (V+5) = 180 / V + 3. Решив это уравнение, получим V = 15 км/ч. Следовательно, скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, будет 15 + 5 = 20 км/ч.
