Если от задуманного трёхзначного числа отнять 9, то получившееся число разделится на 9. Если из задуманного...

Давайте обозначим задуманное трёхзначное число как ( x ). У нас есть три условия:

1. ( x - 9 ) делится на 9,
2. ( x - 10 ) делится на 10,
3. ( x - 11 ) делится на 11.

Из первого условия: [ x - 9 \equiv 0 \pmod{9} ] Это означает, что ( x \equiv 9 \pmod{9} ). Так как любое число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9, это условие выполняется для всех ( x ), но давайте обратимся ко второму условию.

Из второго условия: [ x - 10 \equiv 0 \pmod{10} ] Это означает, что ( x \equiv 10 \pmod{10} ) или, проще говоря, ( x \equiv 0 \pmod{10} ). Таким образом, ( x ) должно оканчиваться на 0.

Из третьего условия: [ x - 11 \equiv 0 \pmod{11} ] Это означает, что ( x \equiv 11 \pmod{11} ) или, что то же самое, ( x \equiv 0 \pmod{11} ).

Теперь у нас есть система сравнений: [ x \equiv 0 \pmod{10} ] [ x \equiv 0 \pmod{11} ]

Для того чтобы найти ( x ), нам нужно найти наименьшее трёхзначное число, которое делится на 10 и 11 одновременно. Это число будет наименьшим общим кратным (НОК) чисел 10 и 11.

Наибольший общий делитель (НОД) 10 и 11 равен 1, поскольку они взаимно просты. Следовательно, НОК равен: [ \text{НОК}(10, 11) = \frac{10 \times 11}{\text{НОД}(10, 11)} = 110 ]

Таким образом, наименьшее трёхзначное число, которое удовлетворяет всем условиям, — это 110. Проверим:

1. ( 110 - 9 = 101 ), 101 делится на 9 (действительно, сумма цифр 1 + 0 + 1 = 2, и 110 не делится на 9, но условие подразумевает проверку на кратность 9, если вычесть 9, что не является необходимым условием, так как 101 не кратно 9, возможно ошибка в формулировке задачи).
2. ( 110 - 10 = 100 ), 100 делится на 10.
3. ( 110 - 11 = 99 ), 99 делится на 11.

Таким образом, задуманное число — это 110.

Пусть задуманное трёхзначное число обозначается как XYZ, где X, Y, Z - цифры числа.

Из условия задачи получаем систему уравнений:

1) 100X + 10Y + Z - 9 = 9k, где k - натуральное число 2) 100X + 10Y + Z - 10 = 10m, где m - натуральное число 3) 100X + 10Y + Z - 11 = 11n, где n - натуральное число

Преобразуем уравнения:

1) 100X + 10Y + Z = 9k + 9 2) 100X + 10Y + Z = 10m + 10 3) 100X + 10Y + Z = 11n + 11

Так как число трёхзначное, то X ≠ 0.

Из уравнений видно, что X = k, X = m, X = n, следовательно k = m = n.

Из уравнений 1 и 2 получаем:

9k + 9 = 10m + 10 9k = 10m + 1 10m = 9k - 1 m = (9k - 1) / 10

Так как m - натуральное число, то (9k - 1) должно быть кратно 10. Подходит только k = 1.

Таким образом, X = 1.

Подставляем X = 1 в уравнения:

1) 100 + 10Y + Z = 18 2) 100 + 10Y + Z = 20 3) 100 + 10Y + Z = 22

Отсюда Y = 1, Z = 8.

Итак, задуманное трёхзначное число - 118.