Фишку наугад бросают в квадрат со стороной 3 и она попадает в некоторую точку N. Какова вероятность...

Для решения задачи нужно определить, какая часть квадрата со стороной 3 соответствует условиям задачи, то есть расстоянию от точки N до ближайшей стороны квадрата, не превышающему 1.

1. Определение квадрата: Квадрат со стороной 3 можно представить с координатами вершин: (0, 0), (3, 0), (3, 3), (0, 3).

2. Условия задачи: Мы ищем такие точки N внутри этого квадрата, для которых расстояние до ближайшей стороны квадрата не превышает 1.

3. Параметры расстояния: Расстояние от точки N до ближайшей стороны квадрата зависит от положения этой точки.

   • Если точка N расположена на расстоянии менее 1 от стороны квадрата, то она должна находиться в пределах 1 единицы от каждой из сторон.

4. Площадь безопасной зоны: Для того чтобы визуализировать, где могут находиться такие точки, можно представить, что мы "уменьшаем" квадрат на 1 единицу с каждой стороны. Это создаёт новый квадрат, который будет находиться внутри исходного квадрата.

   • Новый квадрат будет иметь вершины (1, 1), (2, 1), (2, 2), (1, 2).
   • Сторона нового квадрата равна (3 - 2 \cdot 1 = 1).

5. Площадь квадрата: Площадь изначального квадрата со стороной 3: [ S_{\text{внешний}} = 3 \times 3 = 9. ]

   Площадь квадрата с уменьшенными размерами: [ S_{\text{внутренний}} = 1 \times 1 = 1. ]

6. Вероятность: Теперь, чтобы найти вероятность того, что точка N попадет в область, где расстояние до ближайшей стороны не превышает 1, нужно взять отношение площадей: [ P = \frac{S{\text{внутренний}}}{S{\text{внешний}}} = \frac{1}{9}. ]

Таким образом, вероятность того, что расстояние от точки N до ближайшей стороны квадрата не превосходит 1, составляет (\frac{1}{9}).

Рассмотрим задачу подробно.

Условия задачи:

1. У нас есть квадрат со стороной длиной 3.
2. В этот квадрат наугад бросают фишку, и она попадает в некоторую точку ( N ).
3. Нам нужно найти вероятность того, что расстояние от точки ( N ) до ближайшей стороны квадрата не превышает 1.

Разбор задачи:

Шаг 1: Расстояние до сторон квадрата

Квадрат имеет стороны длиной 3, и его координаты можно считать так, чтобы он был расположен следующим образом на плоскости:

• Левая нижняя вершина квадрата находится в точке ( (0, 0) ),
• Правая верхняя вершина квадрата находится в точке ( (3, 3) \ ).

Расстояние от произвольной точки ( N(x, y) ) внутри квадрата до ближайшей стороны квадрата определяется следующим образом:

• Если точка ( N ) ближе к левой или правой стороне квадрата, то расстояние равно ( \min(x, 3-x) ),
• Если точка ( N ) ближе к нижней или верхней стороне квадрата, то расстояние равно ( \min(y, 3-y) ).

Таким образом, для точки ( N(x, y) ), расстояние до ближайшей стороны квадрата равно: [ d = \min(x, 3-x, y, 3-y). ]

Шаг 2: Условие расстояния

По условию задачи, нас интересуют точки ( N(x, y) ), для которых это расстояние ( d \leq 1 ). Это означает, что: [ \min(x, 3-x, y, 3-y) \leq 1. ]

Шаг 3: Геометрическое представление

Условие ( \min(x, 3-x, y, 3-y) \leq 1 ) означает, что точка ( N(x, y) ) находится в области внутри квадрата, которая ближе к какой-либо стороне на расстоянии не более 1.

1. Рассмотрим только одну сторону квадрата, например, ( x = 0 ) (левая сторона). Условие ( x \leq 1 ) задаёт полосу шириной 1 вдоль этой стороны.
2. Аналогично для правой стороны ( x = 3 ): условие ( 3 - x \leq 1 ) даёт полосу шириной 1 вдоль правой стороны.
3. Для нижней стороны ( y = 0 ): условие ( y \leq 1 ) даёт полосу шириной 1 вдоль нижней стороны.
4. Для верхней стороны ( y = 3 ): условие ( 3 - y \leq 1 ) даёт полосу шириной 1 вдоль верхней стороны.

Теперь пересечение всех этих полос внутри квадрата образует центральную область, где расстояние до ближайшей стороны квадрата превышает 1. Это означает, что точки, удовлетворяющие ( \min(x, 3-x, y, 3-y) \leq 1 ), находятся за пределами этой центральной области.

Шаг 4: Определение областей

1. Квадрат со стороной 3 имеет общую площадь: [ S_{\text{квадрата}} = 3 \times 3 = 9. ]
2. Центральная область, где ( \min(x, 3-x, y, 3-y) > 1 ), также является квадратом. Его стороны равны ( 3 - 2 \times 1 = 1 ), так как полосы шириной 1 с каждой стороны вырезают область. Таким образом, площадь центрального квадрата: [ S_{\text{центрального квадрата}} = 1 \times 1 = 1. ]
3. Тогда площадь областей, где ( \min(x, 3-x, y, 3-y) \leq 1 ), равна: [ S{\text{граничных полос}} = S{\text{квадрата}} - S_{\text{центрального квадрата}} = 9 - 1 = 8. ]

Шаг 5: Вероятность

Так как точки бросаются равномерно по квадрату, вероятность попадания фишки в область, где ( \min(x, 3-x, y, 3-y) \leq 1 ), равна отношению площади этой области к общей площади квадрата: [ P = \frac{S{\text{граничных полос}}}{S{\text{квадрата}}} = \frac{8}{9}. ]

Ответ:

Вероятность того, что расстояние от точки ( N ) до ближайшей стороны квадрата не превышает 1, равна: [ P = \frac{8}{9}. ]

Чтобы найти вероятность того, что расстояние от точки N до ближайшей стороны квадрата не превосходит 1, нужно определить площадь области, удовлетворяющей этому условию.

Квадрат со стороной 3 имеет площадь (3 \times 3 = 9).

Область, где расстояние от точки до ближайшей стороны квадрата не превышает 1, представляет собой внутренний квадрат, который отстает от каждой стороны на 1. Сторона этого внутреннего квадрата будет равна (3 - 2 \cdot 1 = 1), и его площадь равна (1 \times 1 = 1).

Теперь вероятность можно найти, разделив площадь внутреннего квадрата на площадь всего квадрата:

[ P = \frac{\text{Площадь внутреннего квадрата}}{\text{Площадь квадрата}} = \frac{1}{9}. ]

Таким образом, вероятность того, что расстояние от точки N до ближайшей стороны квадрата не превосходит 1, равна (\frac{1}{9}).