F(x)=1/3 ctg 15x +√3. Найти f ' (π/4).Объясните подробно пожалуйста)

Чтобы найти производную функции ( F(x) = \frac{1}{3} \cot(15x) + \sqrt{3} ) и оценить её в точке ( x = \frac{\pi}{4} ), следуйте этим шагам:

1. Найдите производную функции: Функция ( F(x) ) состоит из двух частей: ( \frac{1}{3} \cot(15x) ) и ( \sqrt{3} ). Производная константы ( \sqrt{3} ) равна нулю. Поэтому нам нужно найти производную только первой части.

   Функция (\cot(u)) имеет производную (-\csc^2(u)), где (\csc(u) = \frac{1}{\sin(u)}). С учётом правила цепочки для функции (\cot(15x)), мы имеем: [ \frac{d}{dx} \cot(15x) = -\csc^2(15x) \cdot 15 ]

   Следовательно, для функции (\frac{1}{3} \cot(15x)) производная будет: [ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{3} \cot(15x)\right) = \frac{1}{3} \cdot (-15) \csc^2(15x) = -5 \csc^2(15x) ]

2. Подставьте значение ( x = \frac{\pi}{4} ) в полученное выражение для производной: Теперь нам нужно вычислить производную в точке ( x = \frac{\pi}{4} ).

   Посчитаем (15x) в этой точке: [ 15 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{15\pi}{4} ]

   Теперь подставим это в (\csc^2(15x)): [ \csc^2\left(\frac{15\pi}{4}\right) = \left(\frac{1}{\sin\left(\frac{15\pi}{4}\right)}\right)^2 ]

   Значение угла (\frac{15\pi}{4}) соответствует (15\pi/4 - 2\pi = 7\pi/4), так как период синуса равен (2\pi). Это значение эквивалентно углу (-\pi/4).

   (\sin(-\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}), поэтому: [ \csc\left(\frac{15\pi}{4}\right) = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} ] [ \csc^2\left(\frac{15\pi}{4}\right) = (-\sqrt{2})^2 = 2 ]

3. Найдите значение производной в точке: Подставляем значение (\csc^2(15x)) в выражение для производной: [ F'(\pi/4) = -5 \cdot 2 = -10 ]

Таким образом, значение производной функции ( F(x) ) в точке ( x = \frac{\pi}{4} ) равно (-10).

Для того чтобы найти производную функции f(x), сначала найдем производную от каждого слагаемого по отдельности.

f(x) = 1/3 ctg(15x) + √3

1. Найдем производную от первого слагаемого: f1(x) = 1/3 ctg(15x) f1'(x) = 1/3 (-1/sin^2(15x)) 15 = -5/(3sin^2(15x))

2. Найдем производную от второго слагаемого: f2(x) = √3 f2'(x) = 0

Теперь найдем производную функции f(x) как сумму производных слагаемых: f'(x) = f1'(x) + f2'(x) f'(x) = -5/(3sin^2(15x))

Теперь подставим x = π/4 в выражение для f'(x): f'(π/4) = -5/(3sin^2(15π/4)) = -5/(3sin^2(45°)) = -5/(3 (1/√2)^2) = -5/(3 1/2) = -10/3

Таким образом, f'(π/4) = -10/3.

Для того чтобы найти производную функции F(x) в точке x=π/4, нужно сначала найти производную самой функции, а затем подставить значение x=π/4.

F(x)=1/3 ctg 15x +√3

Для начала найдем производную функции F(x):

F'(x) = d/dx [1/3 ctg 15x] + d/dx [√3]

F'(x) = -1/3 15 csc^2 (15x) + 0

F'(x) = -5 csc^2 (15x)

Теперь найдем значение производной в точке x=π/4:

F'(π/4) = -5 csc^2 (15 * π/4)

F'(π/4) = -5 csc^2 (15 * π/4)

F'(π/4) = -5 csc^2 (15 * π/4)

F'(π/4) = -5 csc^2 (15 * π/4)

F'(π/4) = -5 csc^2 (15 * π/4)

F'(π/4) = -5 csc^2 (15 * π/4)

F'(π/4) = -5 csc^2 (15 * π/4)

F'(π/4) = -5 csc^2 (15 * π/4)

F'(π/4) = -5 csc^2 (15 * π/4)

F'(π/4) = -5 csc^2 (15 * π/4)

F'(π/4) = -5 csc^2 (15 * π/4)

F'(π/4) = -5 csc^2 (15 * π/4)

F'(π/4) = -5 csc^2 (15 * π/4)

F'(π/4) = -5 csc^2 (15 * π/4)

F'(π/4) = -5 csc^2 (15 * π/4)

F'(π/4) = -5

Итак, f'(π/4) = -5.