F(x)=√x(2x^2-x) (вычислить производную функции

Чтобы вычислить производную функции ( f(x) = \sqrt{x} (2x^2 - x) ), воспользуемся правилами дифференцирования и правилом произведения. Разложим функцию на две части: ( u(x) = \sqrt{x} ) и ( v(x) = 2x^2 - x ).

Для начала, найдем производные ( u(x) ) и ( v(x) ) отдельно.

1. Производная функции ( u(x) = \sqrt{x} ): [ u(x) = x^{1/2} ] [ u'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} ]

2. Производная функции ( v(x) = 2x^2 - x ): [ v'(x) = \frac{d}{dx} (2x^2) - \frac{d}{dx} (x) ] [ v'(x) = 4x - 1 ]

Теперь применим правило произведения для нахождения производной ( f(x) ). Правило произведения гласит, что если ( f(x) = u(x) v(x) ), то: [ f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) ]

Подставим найденные производные ( u'(x) ) и ( v'(x) ): [ f'(x) = \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \right) (2x^2 - x) + \sqrt{x} (4x - 1) ]

Разложим и упростим выражение: [ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} (2x^2 - x) + \sqrt{x} (4x - 1) ] [ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot 2x^2 - \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot x + \sqrt{x} \cdot 4x - \sqrt{x} \cdot 1 ] [ f'(x) = \frac{2x^2}{2\sqrt{x}} - \frac{x}{2\sqrt{x}} + 4x \sqrt{x} - \sqrt{x} ]

Теперь упростим каждый член: [ f'(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x}} - \frac{x}{2\sqrt{x}} + 4x \sqrt{x} - \sqrt{x} ] [ f'(x) = x \sqrt{x} - \frac{x}{2\sqrt{x}} + 4x \sqrt{x} - \sqrt{x} ]

Теперь соберем подобные члены: [ f'(x) = x \sqrt{x} + 4x \sqrt{x} - \sqrt{x} - \frac{x}{2\sqrt{x}} ]

Приведем выражение к общему виду: [ f'(x) = 5x \sqrt{x} - \sqrt{x} - \frac{x}{2\sqrt{x}} ]

Упростим последний член: [ \frac{x}{2\sqrt{x}} = \frac{x^{1.5}}{2} = \frac{x^{3/2}}{2} ]

Теперь окончательно: [ f'(x) = 5x \sqrt{x} - \sqrt{x} - \frac{x^{3/2}}{2} ] [ f'(x) = 5x^{3/2} - x^{1/2} - \frac{x^{3/2}}{2} ]

Соединим подобные члены: [ f'(x) = \left(5 - \frac{1}{2}\right) x^{3/2} - x^{1/2} ] [ f'(x) = \frac{10}{2} x^{3/2} - \frac{1}{2} x^{3/2} - x^{1/2} ] [ f'(x) = \frac{9}{2} x^{3/2} - x^{1/2} ]

Таким образом, производная функции ( f(x) ) равна: [ f'(x) = \frac{9}{2} x^{3/2} - x^{1/2} ]

Для вычисления производной функции f(x)=√x(2x^2-x) сначала раскроем скобки: f(x)=√x(2x^2-x)=√x 2x^2 - √x x = 2x^(5/2) - x^(3/2).

Теперь найдем производную этой функции: f'(x) = d/dx (2x^(5/2) - x^(3/2)) f'(x) = 5/2 2x^(3/2) - 3/2 x^(1/2) f'(x) = 5x^(3/2) - 3/2x^(1/2).

Итак, производная функции f(x)=√x(2x^2-x) равна 5x^(3/2) - 3/2x^(1/2).