F$x$=√x$2x^2-x$ (вычислить производную функции

Чтобы вычислить производную функции $f(x$ = \sqrt{x} $2x^2-x$ ), воспользуемся правилами дифференцирования и правилом произведения. Разложим функцию на две части: $u(x$ = \sqrt{x} ) и $v(x$ = 2x^2 - x ).

Для начала, найдем производные $u(x$ ) и $v(x$ ) отдельно.

1. Производная функции $u(x$ = \sqrt{x} ): $u(x)=x^{1/2}$ $u^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

2. Производная функции $v(x$ = 2x^2 - x ): $v^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(2x^2)-\frac{d}{dx}(x)$ $v^{\prime }(x)=4x-1$

Теперь применим правило произведения для нахождения производной $f(x$ ). Правило произведения гласит, что если $f(x$ = u$x$ v$x$ ), то: $f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$

Подставим найденные производные $u^{\prime }(x$ ) и $v^{\prime }(x$ ): $f^{\prime }(x)=\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)(2x^2-x)+\sqrt{x}(4x-1)$

Разложим и упростим выражение: $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(2x^2-x)+\sqrt{x}(4x-1)$ $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot 2x^2-\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot x+\sqrt{x}\cdot 4x-\sqrt{x}\cdot 1$ $f^{\prime }(x)=\frac{2x^2}{2\sqrt{x}}-\frac{x}{2\sqrt{x}}+4x\sqrt{x}-\sqrt{x}$

Теперь упростим каждый член: $f^{\prime }(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x}}-\frac{x}{2\sqrt{x}}+4x\sqrt{x}-\sqrt{x}$ $f^{\prime }(x)=x\sqrt{x}-\frac{x}{2\sqrt{x}}+4x\sqrt{x}-\sqrt{x}$

Теперь соберем подобные члены: $f^{\prime }(x)=x\sqrt{x}+4x\sqrt{x}-\sqrt{x}-\frac{x}{2\sqrt{x}}$

Приведем выражение к общему виду: $f^{\prime }(x)=5x\sqrt{x}-\sqrt{x}-\frac{x}{2\sqrt{x}}$

Упростим последний член: $\frac{x}{2\sqrt{x}}=\frac{x^{1.5}}{2}=\frac{x^{3/2}}{2}$

Теперь окончательно: $f^{\prime }(x)=5x\sqrt{x}-\sqrt{x}-\frac{x^{3/2}}{2}$ $f^{\prime }(x)=5x^{3/2}-x^{1/2}-\frac{x^{3/2}}{2}$

Соединим подобные члены: $f^{\prime }(x)=(5-\frac{1}{2})x^{3/2}-x^{1/2}$ $f^{\prime }(x)=\frac{10}{2}{x}^{3/2}-\frac{1}{2}{x}^{3/2}-x^{1/2}$ $f^{\prime }(x)=\frac{9}{2}{x}^{3/2}-x^{1/2}$

Таким образом, производная функции $f(x$ ) равна: $f^{\prime }(x)=\frac{9}{2}{x}^{3/2}-x^{1/2}$

Для вычисления производной функции f$x$=√x$2x^2-x$ сначала раскроем скобки: f$x$=√x$2x^2-x$=√x 2x^2 - √x x = 2x^$5/2$ - x^$3/2$.

Теперь найдем производную этой функции: f'$x$ = d/dx $2x^{(}5/2$ - x^$3/2$) f'$x$ = 5/2 2x^$3/2$ - 3/2 x^$1/2$ f'$x$ = 5x^$3/2$ - 3/2x^$1/2$.

Итак, производная функции f$x$=√x$2x^2-x$ равна 5x^$3/2$ - 3/2x^$1/2$.