Геометрическая прогрессия (bn) задана условиями b1=-6,bn+1=2bn.Найдите сумму первых шести ее членов

Для того чтобы найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, заданной условиями ( b1 = -6 ) и ( b{n+1} = 2b_n ), нужно сначала определить выражение для общего члена этой прогрессии.

Шаг 1: Определение общего члена прогрессии

По определению геометрической прогрессии, каждый член ( b_{n+1} ) можно выразить через предыдущий член ( b_n ) умножением на постоянный множитель (здесь ( q = 2 )):

[ b_{n+1} = b_n \cdot q ]

Так как ( b_{n+1} = 2b_n ), множитель ( q = 2 ).

Общий член геометрической прогрессии можно записать в виде:

[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} ]

Подставив ( b_1 = -6 ) и ( q = 2 ), получаем:

[ b_n = -6 \cdot 2^{n-1} ]

Шаг 2: Вычисление членов прогрессии

Теперь найдем первые шесть членов этой прогрессии:

1. ( b_1 = -6 )
2. ( b_2 = -6 \cdot 2 = -12 )
3. ( b_3 = -6 \cdot 2^2 = -6 \cdot 4 = -24 )
4. ( b_4 = -6 \cdot 2^3 = -6 \cdot 8 = -48 )
5. ( b_5 = -6 \cdot 2^4 = -6 \cdot 16 = -96 )
6. ( b_6 = -6 \cdot 2^5 = -6 \cdot 32 = -192 )

Шаг 3: Вычисление суммы первых шести членов

Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии ( S_n ) вычисляется по формуле:

[ S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} ]

Для первых шести членов (то есть ( n = 6 )), подставим ( b_1 = -6 ) и ( q = 2 ):

[ S_6 = -6 \cdot \frac{2^6 - 1}{2 - 1} ]

Вычислим ( 2^6 ):

[ 2^6 = 64 ]

Теперь подставим это значение:

[ S_6 = -6 \cdot \frac{64 - 1}{1} = -6 \cdot 63 ]

Выполним умножение:

[ S_6 = -378 ]

Таким образом, сумма первых шести членов данной геометрической прогрессии равна ( -378 ).

Для нахождения суммы первых шести членов геометрической прогрессии, заданной условиями b1=-6 и bn+1=2bn, нам нужно сначала найти формулу общего члена этой прогрессии.

Из условия bn+1=2bn мы видим, что каждый следующий член прогрессии равен предыдущему, умноженному на 2. Таким образом, общий член геометрической прогрессии будет выглядеть как bn = b1 * 2^(n-1), где n - номер члена прогрессии.

Теперь мы можем найти сумму первых шести членов прогрессии, подставив значения в формулу общего члена и произведя необходимые вычисления:

b1 = -6 n = 1: b1 = -6 2^(1-1) = -6 n = 2: b2 = -6 2^(2-1) = -12 n = 3: b3 = -6 2^(3-1) = -24 n = 4: b4 = -6 2^(4-1) = -48 n = 5: b5 = -6 2^(5-1) = -96 n = 6: b6 = -6 2^(6-1) = -192

Сумма первых шести членов прогрессии будет равна -6 - 12 - 24 - 48 - 96 - 192 = -378.

Таким образом, сумма первых шести членов данной геометрической прогрессии равна -378.