Гипатенуза прямоугольного треугольника равна 15 см, найдите катеты треугольника если один из них на...

Пусть один катет треугольника равен х см, а другой (х+3) см. Тогда по теореме Пифагора получаем уравнение: х^2 + (х+3)^2 = 15^2 Решив его, найдем значения катетов: x = 6 см, x+3 = 9 см.

Для решения задачи найдем катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 15 см, при условии, что один катет на 3 см меньше другого.

Обозначим один катет через ( x ). Тогда другой катет будет равен ( x - 3 ).

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Запишем это уравнение:

[ x^2 + (x - 3)^2 = 15^2 ]

Раскроем скобки и упростим выражение:

[ x^2 + (x^2 - 6x + 9) = 225 ]

Сложим подобные члены:

[ 2x^2 - 6x + 9 = 225 ]

Перенесем все члены на одну сторону уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

[ 2x^2 - 6x + 9 - 225 = 0 ]

[ 2x^2 - 6x - 216 = 0 ]

Для удобства упростим уравнение, разделив все члены на 2:

[ x^2 - 3x - 108 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac ]

где ( a = 1 ), ( b = -3 ), ( c = -108 ):

[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) ]

[ D = 9 + 432 ]

[ D = 441 ]

Корень квадратный из дискриминанта:

[ \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 ]

Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

[ x_{1,2} = \frac{3 \pm 21}{2} ]

Найдем оба корня:

[ x_1 = \frac{3 + 21}{2} = \frac{24}{2} = 12 ]

[ x_2 = \frac{3 - 21}{2} = \frac{-18}{2} = -9 ]

Поскольку длина катета не может быть отрицательной, оставляем только положительное значение ( x = 12 ).

Таким образом, один катет равен 12 см. Второй катет, который на 3 см меньше, равен:

[ 12 - 3 = 9 \, \text{см} ]

Итак, катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 9 см.

Пусть один катет треугольника равен х см, тогда второй катет будет (х+3) см. Согласно теореме Пифагора, гипотенуза равна квадратному корню из суммы квадратов катетов: 15^2 = x^2 + (x+3)^2 225 = x^2 + x^2 + 6x + 9 2x^2 + 6x - 216 = 0 x^2 + 3x - 108 = 0 (x + 12)(x - 9) = 0 x = 9 или x = -12 Так как длина стороны не может быть отрицательной, то значение x = 9 см. Следовательно, катеты треугольника равны 9 см и 12 см.