Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 найдите его катеты если известно что один из них на...

Давайте решим задачу, используя теорему Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если обозначить катеты как ( a ) и ( b ), а гипотенузу как ( c ), то можно записать:

[ c^2 = a^2 + b^2 ]

В данной задаче известно, что гипотенуза ( c = 20 ) см. Также сказано, что один из катетов больше другого на 4 см. Это можно записать как:

[ a = b + 4 ]

Теперь подставим это выражение в уравнение Пифагора:

[ 20^2 = (b + 4)^2 + b^2 ]

Решим это уравнение:

1. Выразим квадрат гипотенузы:

[ 400 = (b + 4)^2 + b^2 ]

1. Раскроем скобки:

[ (b + 4)^2 = b^2 + 8b + 16 ]

1. Подставим обратно в уравнение:

[ 400 = b^2 + 8b + 16 + b^2 ]

1. Объединим подобные члены:

[ 400 = 2b^2 + 8b + 16 ]

1. Перенесем все члены уравнения на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

[ 2b^2 + 8b + 16 - 400 = 0 ]

[ 2b^2 + 8b - 384 = 0 ]

1. Разделим все уравнение на 2, чтобы упростить:

[ b^2 + 4b - 192 = 0 ]

1. Решим квадратное уравнение методом дискриминанта:

Дискриминант ( D ) равен:

[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) ]

[ D = 16 + 768 = 784 ]

1. Найдем корни уравнения:

[ b = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{784}}{2} ]

[ b = \frac{-4 \pm 28}{2} ]

1. Найдем два возможных значения для ( b ):

[ b_1 = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12 ]

[ b_2 = \frac{-4 - 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16 ]

Поскольку длина катета не может быть отрицательной, нам подходит только положительное значение:

[ b = 12 ]

Теперь найдем ( a ):

[ a = b + 4 = 12 + 4 = 16 ]

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 16 см.

Для решения данной задачи можно воспользоваться теоремой Пифагора, которая утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов в прямоугольном треугольнике. Пусть один из катетов равен х см, тогда другой катет будет (20^2 - х^2)^0.5 см. Поскольку один из катетов равен 4 см, подставляем это значение вместо х и находим второй катет:

(20^2 - 4^2)^0.5 = (400 - 16)^0.5 = (384)^0.5 = 19.6 см

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 4 см и 19.6 см.