Интеграл dx/x^4

Интеграл от dx/x^4 можно найти с помощью метода замены переменной. Для этого проведем следующие действия:

1. Представим интеграл в виде интеграла от x в степени -4: ∫dx/x^4.
2. Проведем замену переменной: u = x^(-3), тогда du = -3x^(-4)dx.
3. Перепишем интеграл с учетом замены переменной: -1/3∫du.
4. Интегрируем полученное выражение: -u/3 + C, где C - произвольная постоянная.
5. Подставляем обратно выражение для u: -x^(-3)/3 + C.
6. Таким образом, окончательный ответ на интеграл dx/x^4 равен -1/(3x^3) + C.

Интеграл функции ( \frac{1}{x^4} ) можно записать в виде:

[ \int \frac{1}{x^4} \, dx ]

Это выражение можно переписать, используя степень с отрицательным показателем:

[ \int x^{-4} \, dx ]

Для интегрирования функции вида ( x^n ), где ( n \neq -1 ), используется следующая формула:

[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ]

где ( C ) — произвольная постоянная интегрирования.

В нашем случае ( n = -4 ). Подставим это значение в формулу:

[ \int x^{-4} \, dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-3}}{-3} + C ]

Это можно переписать как:

[ -\frac{1}{3}x^{-3} + C ]

Или, в более привычной форме:

[ -\frac{1}{3x^3} + C ]

Таким образом, интеграл функции ( \frac{1}{x^4} ) равен:

[ \int \frac{1}{x^4} \, dx = -\frac{1}{3x^3} + C ]

где ( C ) — произвольная постоянная интегрирования.

Интеграл dx/x^4 = -1/(3x^3) + C, где C - произвольная постоянная.