Исследовать функцию и построить график y=8-2x-x^2

Для исследования функции ( y = 8 - 2x - x^2 ) проведем анализ по следующим шагам:

1. Область определения: Функция ( y = 8 - 2x - x^2 ) является многочленом и определена на всей числовой прямой, то есть ( x \in \mathbb{R} ).

2. Нули функции: Чтобы найти нули функции, решим уравнение ( 8 - 2x - x^2 = 0 ). Перепишем его как ( x^2 + 2x - 8 = 0 ). Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36. ] Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 6}{2}. ] Таким образом, ( x_1 = 2 ) и ( x_2 = -4 ).

3. Вершина параболы: Функция задает параболу, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при ( x^2 ) отрицателен). Координаты вершины параболы находятся по формуле: [ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = -1. ] Подставим ( x_v ) в уравнение функции для нахождения ( y_v ): [ y_v = 8 - 2(-1) - (-1)^2 = 8 + 2 - 1 = 9. ] Вершина параболы имеет координаты ((-1, 9)).

4. Проверка на симметрию: Парабола симметрична относительно прямой ( x = -1 ).

5. Построение графика: График функции ( y = 8 - 2x - x^2 ) — это парабола, открытая вниз с вершиной в точке ((-1, 9)), проходящая через точки пересечения с осью ( x ), которые мы нашли: ( x = 2 ) и ( x = -4 ).

Для построения графика:

• Нанесите вершину ((-1, 9)).
• Отметьте точки пересечения с осью ( x ): ( (-4, 0) ) и ( (2, 0) ).
• Постройте симметричное отражение от вершины.
• Нарисуйте плавную кривую, соединяющую эти точки, с ветвями, стремящимися вниз.

Эти шаги дают полное представление о графике функции и её характеристиках.

Для исследования функции y=8-2x-x^2 находим ее производные: Первая производная: y'=-2-2x Вторая производная: y''=-2

Точки экстремума: Находим корни первой производной: -2-2x=0 => x=-1 Подставляем найденное значение во вторую производную: y''(-1)=-2 < 0 => найденный корень x=-1 - точка максимума функции.

Находим значение функции в найденной точке: y(-1)=8-2*(-1)-(-1)^2=8+2-1=9

Таким образом, точка максимума функции y=8-2x-x^2 находится в точке (-1, 9).

Построим график функции: Для удобства построения графика, найдем также точки пересечения функции с осями координат. Подставляем y=0 для нахождения корней: 8-2x-x^2=0 => x^2+2x-8=0 => x=-4 или x=2

Итак, имеем следующие точки для построения графика: (-4, 0), (-1, 9), (2, 0).

График функции y=8-2x-x^2 будет представлять собой параболу, направленную вниз, с вершиной в точке (-1, 9) и пересечениями с осями координат в точках (-4, 0) и (2, 0).

Для исследования функции y=8-2x-x^2 нужно найти корни уравнения, вершины параболы, определить выпуклость/вогнутость и построить график.