Исследуйте функцию f(x)=x³-3x на монотонность экстремум и построить ее график.

Функция f(x) = x³ - 3x возрастает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞), убывает на интервале (-1, 1). Минимум функции равен -2 при x = -1, максимум функции равен 2 при x = 1. График функции представляет собой кубическую параболу, проходящую через точки (-1, -2) и (1, 2).

Чтобы исследовать функцию ( f(x) = x^3 - 3x ) на монотонность и экстремумы, а также построить её график, выполним следующие шаги:

1. Находим производную функции

Производная функции ( f(x) ) дается формулой: [ f'(x) = 3x^2 - 3. ]

2. Исследуем на экстремумы

Для нахождения экстремумов функции необходимо решить уравнение ( f'(x) = 0 ): [ 3x^2 - 3 = 0 ] [ x^2 = 1 ] [ x = \pm 1. ]

Теперь найдем вторую производную: [ f''(x) = 6x. ]

Оценим знаки второй производной на значениях ( x = \pm 1 ):

• ( f''(1) = 6 ) (положительно, следовательно, в точке ( x = 1 ) минимум),
• ( f''(-1) = -6 ) (отрицательно, следовательно, в точке ( x = -1 ) максимум).

3. Исследуем на монотонность

• Когда ( x < -1 ), ( f'(x) > 0 ) (функция возрастает).
• Когда ( -1 < x < 1 ), ( f'(x) < 0 ) (функция убывает).
• Когда ( x > 1 ), ( f'(x) > 0 ) (функция возрастает).

4. Вычисляем значения функции в ключевых точках

• ( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 ),
• ( f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2 ),
• ( f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0 = 0 ).

5. Построение графика

График функции ( f(x) = x^3 - 3x ) будет иметь следующие характеристики:

• Проходит через точки ( (-1, 2) ), ( (0, 0) ), и ( (1, -2) ).
• Имеет максимум в точке ( (-1, 2) ).
• Имеет минимум в точке ( (1, -2) ).
• Функция симметрична относительно начала координат, так как это нечетная функция.

График можно начертить, отметив данные точки и поведение функции, используя информацию о монотонности и экстремумах. График будет иметь форму волны, где он поднимается в левой части до максимума, опускается через точку пересечения с осью OX до минимума и снова возрастает.

Для точной визуализации можно использовать программы для построения графиков или графический калькулятор.

Для исследования функции f(x)=x³-3x на монотонность и нахождение экстремумов необходимо найти производную этой функции.

f'(x) = 3x² - 3

Далее, найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

3x² - 3 = 0 x² - 1 = 0 (x - 1)(x + 1) = 0

Отсюда получаем две точки экстремума: x = 1 и x = -1.

Далее, проанализируем знак производной в окрестностях найденных точек. При x < -1 f'(x) < 0, что значит функция убывает. При -1 < x < 1 f'(x) > 0, что значит функция возрастает. При x > 1 f'(x) > 0, что значит функция возрастает.

Таким образом, функция f(x)=x³-3x убывает на (-∞, -1), возрастает на (-1, 1) и на (1, +∞).

Для построения графика данной функции можно использовать программы для построения графиков, такие как GeoGebra или Wolfram Alpha. На графике будут видны точки экстремума и изменение монотонности функции.