Исследуйте функцию у=(3-х^2)/(х+2) на монотонность и экстремуму

Для исследования функции ( y = \frac{3 - x^2}{x + 2} ) на монотонность и экстремумы, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Область определения функции: Функция ( y = \frac{3 - x^2}{x + 2} ) имеет знаменатель ( x + 2 ). Для того чтобы функция была определена, знаменатель не должен быть равен нулю. Следовательно: [ x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2 ] Таким образом, область определения функции: ( x \in \mathbb{R} \setminus {-2} ).

2. Нахождение производной функции: Для исследования монотонности и экстремумов функции, необходимо найти её первую производную. Производная функции ( y = \frac{3 - x^2}{x + 2} ) будет находиться по правилу дифференцирования частного: [ y' = \frac{(3 - x^2)' \cdot (x + 2) - (3 - x^2) \cdot (x + 2)'}{(x + 2)^2} ] Считаем производные числителя и знаменателя: [ (3 - x^2)' = -2x \quad \text{и} \quad (x + 2)' = 1 ] Подставляем эти значения в формулу производной: [ y' = \frac{(-2x) \cdot (x + 2) - (3 - x^2) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{-2x(x + 2) - (3 - x^2)}{(x + 2)^2} ] Упрощаем числитель: [ -2x(x + 2) - (3 - x^2) = -2x^2 - 4x - 3 + x^2 = -x^2 - 4x - 3 ] Тогда производная: [ y' = \frac{-x^2 - 4x - 3}{(x + 2)^2} ]

3. Исследование знака производной: Для исследования монотонности функции, необходимо исследовать знак производной. Рассмотрим квадратный трёхчлен в числителе: [ -x^2 - 4x - 3 ] Найдём его корни, решив уравнение: [ -x^2 - 4x - 3 = 0 ] Используем дискриминант: [ D = (-4)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-3) = 16 - 12 = 4 ] Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot (-1)} = \frac{4 \pm 2}{-2} ] [ x_1 = \frac{4 + 2}{-2} = -3, \quad x_2 = \frac{4 - 2}{-2} = -1 ] Производная меняет знак в этих точках, а также требует исключения точки ( x = -2 ) из рассмотрения.

4. Интервалы монотонности: Разбиваем числовую прямую на интервалы, учитывая точки ( x = -3, x = -2, x = -1 ):

   • ( (-\infty, -3) )
   • ( (-3, -2) )
   • ( (-2, -1) )
   • ( (-1, +\infty) )

   Определим знак производной на каждом интервале:

   • На интервале ( (-\infty, -3) ): ( y' > 0 ) (функция возрастает)
   • На интервале ( (-3, -2) ): ( y' < 0 ) (функция убывает)
   • На интервале ( (-2, -1) ): ( y' > 0 ) (функция возрастает)
   • На интервале ( (-1, +\infty) ): ( y' < 0 ) (функция убывает)

5. Проверка экстремумов:

   • В точке ( x = -3 ) производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка максимума.
   • В точке ( x = -1 ) производная меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка минимума.

6. Значения функции в точках экстремума:

   • Для ( x = -3 ): [ y(-3) = \frac{3 - (-3)^2}{-3 + 2} = \frac{3 - 9}{-1} = 6 ]
   • Для ( x = -1 ): [ y(-1) = \frac{3 - (-1)^2}{-1 + 2} = \frac{3 - 1}{1} = 2 ]

Итак, функция ( y = \frac{3 - x^2}{x + 2} ):

• Возрастает на интервалах ( (-\infty, -3) ) и ( (-2, -1) ).
• Убывает на интервалах ( (-3, -2) ) и ( (-1, +\infty) ).
• Имеет максимум в точке ( x = -3 ) со значением ( y = 6 ).
• Имеет минимум в точке ( x = -1 ) со значением ( y = 2 ).

Для исследования функции (y = \frac{3-x^2}{x+2}) на монотонность и экстремумы, нужно рассмотреть ее производную.

1. Найдем производную функции (y): [y' = \frac{(x+2)(-2x) - (3-x^2)}{(x+2)^2} = \frac{-2x^2 - 4x - 3 + x^2}{(x+2)^2} = \frac{-x^2 - 4x - 3}{(x+2)^2}]

2. Найдем точки, где производная равна нулю, и точки, где производная не существует: [y' = 0 \Rightarrow -x^2 - 4x - 3 = 0] Решив квадратное уравнение, получим два корня: (x = -3) и (x = -1).

3. Изучим знак производной на интервалах между найденными корнями и за пределами:

   • При (x < -3): (y' > 0)
   • При (-3 < x < -1): (y' < 0)
   • При (-1 < x): (y' > 0)

4. Итак, на интервале ((-3, -1)) функция (y) убывает, а на остальных интервалах возрастает.

5. Теперь найдем экстремумы функции (y). Для этого рассмотрим точки, где производная меняет знак:

   • Минимум функции будет в точке (x = -3), где производная меняет знак с отрицательного на положительный.
   • Максимум функции будет в точке (x = -1), где производная меняет знак с положительного на отрицательный.

Таким образом, функция (y = \frac{3-x^2}{x+2}) убывает на интервале ((-3, -1)) и возрастает на остальных интервалах. Точка (x = -3) является минимумом функции, а точка (x = -1) - максимумом.