Исследуйте функцию у=$3-{х}^2$/$х+2$ на монотонность и экстремуму

Для исследования функции $y=\frac{3-x^2}{x+2}$ на монотонность и экстремумы, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Область определения функции: Функция $y=\frac{3-x^2}{x+2}$ имеет знаменатель $x+2$. Для того чтобы функция была определена, знаменатель не должен быть равен нулю. Следовательно: $x+2\ne 0⟹x\ne -2$ Таким образом, область определения функции: $x\in \mathbb{R}\setminus -2$.

2. Нахождение производной функции: Для исследования монотонности и экстремумов функции, необходимо найти её первую производную. Производная функции $y=\frac{3-x^2}{x+2}$ будет находиться по правилу дифференцирования частного: $y^{\prime }=\frac{(3-x^2{)}^{\prime }\cdot (x+2)-(3-x^2)\cdot (x+2{)}^{\prime }}{(x+2{)}^2}$ Считаем производные числителя и знаменателя: $(3-x^2{)}^{\prime }=-2x\text{и}(x+2{)}^{\prime }=1$ Подставляем эти значения в формулу производной: $y^{\prime }=\frac{(-2x)\cdot (x+2)-(3-x^2)\cdot 1}{(x+2{)}^2}=\frac{-2x(x+2)-(3-x^2)}{(x+2{)}^2}$ Упрощаем числитель: $-2x(x+2)-(3-x^2)=-2x^2-4x-3+x^2=-x^2-4x-3$ Тогда производная: $y^{\prime }=\frac{-x^2-4x-3}{(x+2{)}^2}$

3. Исследование знака производной: Для исследования монотонности функции, необходимо исследовать знак производной. Рассмотрим квадратный трёхчлен в числителе: $-x^2-4x-3$ Найдём его корни, решив уравнение: $-x^2-4x-3=0$ Используем дискриминант: $D=(-4{)}^2-4\cdot (-1)\cdot (-3)=16-12=4$ Корни уравнения: $x_{1,2}=\frac{-(-4)\pm \sqrt{4}}{2\cdot (-1)}=\frac{4\pm 2}{-2}$ $x_1=\frac{4+2}{-2}=-3,x_2=\frac{4-2}{-2}=-1$ Производная меняет знак в этих точках, а также требует исключения точки $x=-2$ из рассмотрения.

4. Интервалы монотонности: Разбиваем числовую прямую на интервалы, учитывая точки $x=-3,x=-2,x=-1$:

   • $(-\mathrm{\infty },-3$ )
   • $(-3,-2$ )
   • $(-2,-1$ )
   • $(-1,+\mathrm{\infty }$ )

   Определим знак производной на каждом интервале:

   • На интервале $(-\mathrm{\infty },-3$ ): $y^{\prime }>0$ $функциявозрастает$
   • На интервале $(-3,-2$ ): $y^{\prime }<0$ $функцияубывает$
   • На интервале $(-2,-1$ ): $y^{\prime }>0$ $функциявозрастает$
   • На интервале $(-1,+\mathrm{\infty }$ ): $y^{\prime }<0$ $функцияубывает$

5. Проверка экстремумов:

   • В точке $x=-3$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка максимума.
   • В точке $x=-1$ производная меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка минимума.

6. Значения функции в точках экстремума:

   • Для $x=-3$: $y(-3)=\frac{3-(-3{)}^2}{-3+2}=\frac{3-9}{-1}=6$
   • Для $x=-1$: $y(-1)=\frac{3-(-1{)}^2}{-1+2}=\frac{3-1}{1}=2$

Итак, функция $y=\frac{3-x^2}{x+2}$:

• Возрастает на интервалах $(-\mathrm{\infty },-3$ ) и $(-2,-1$ ).
• Убывает на интервалах $(-3,-2$ ) и $(-1,+\mathrm{\infty }$ ).
• Имеет максимум в точке $x=-3$ со значением $y=6$.
• Имеет минимум в точке $x=-1$ со значением $y=2$.

Для исследования функции $y=\frac{3-x^2}{x+2}$ на монотонность и экстремумы, нужно рассмотреть ее производную.

1. Найдем производную функции $y$: $y^{\prime }=\frac{(x+2)(-2x)-(3-x^2)}{(x+2{)}^2}=\frac{-2x^2-4x-3+x^2}{(x+2{)}^2}=\frac{-x^2-4x-3}{(x+2{)}^2}$

2. Найдем точки, где производная равна нулю, и точки, где производная не существует: $y^{\prime }=0\Rightarrow -x^2-4x-3=0$ Решив квадратное уравнение, получим два корня: $x=-3$ и $x=-1$.

3. Изучим знак производной на интервалах между найденными корнями и за пределами:

   • При $x<-3$: $y^{\prime }>0$
   • При $-3<x<-1$: $y^{\prime }<0$
   • При $-1<x$: $y^{\prime }>0$

4. Итак, на интервале $(-3,-1$) функция $y$ убывает, а на остальных интервалах возрастает.

5. Теперь найдем экстремумы функции $y$. Для этого рассмотрим точки, где производная меняет знак:

   • Минимум функции будет в точке $x=-3$, где производная меняет знак с отрицательного на положительный.
   • Максимум функции будет в точке $x=-1$, где производная меняет знак с положительного на отрицательный.

Таким образом, функция $y=\frac{3-x^2}{x+2}$ убывает на интервале $(-3,-1$) и возрастает на остальных интервалах. Точка $x=-3$ является минимумом функции, а точка $x=-1$ - максимумом.