Исследуйте функцию y=6x²-x-5 на максимум и минимум, возрастание и убывание, постройте схематично её...

Для исследования функции y=6x²-x-5 на максимум и минимум, возрастание и убывание, мы можем воспользоваться производной этой функции.

1. Найдем производную функции y'=12x-1.

2. Решим уравнение y'=0: 12x-1=0 => x=1/12.

3. Подставим найденное значение x=1/12 в исходную функцию: y=6*(1/12)²-(1/12)-5 => y=-5 1/3.

Таким образом, точка максимума функции y=6x²-x-5 находится в точке (1/12, -5 1/3).

Далее, чтобы исследовать возрастание и убывание функции, мы можем анализировать знак производной:

• при x0, следовательно функция возрастает.

На основании этого анализа, мы можем построить схематичный график функции y=6x²-x-5, который будет убывать до точки максимума (1/12, -5 1/3) и возрастать далее.

Для исследования функции ( y = 6x^2 - x - 5 ), мы начнем с анализа ее поведения, включая нахождение критических точек и определение интервалов возрастания и убывания, а также исследуем максимум и минимум.

1. Найдем производную функции

Для начала найдем первую производную функции ( y ) по ( x ):

[ y' = \frac{d}{dx}(6x^2 - x - 5) = 12x - 1 ]

2. Найдем критические точки

Критические точки находятся, где производная равна нулю или не существует. В нашем случае производная существует везде, поэтому решаем уравнение:

[ 12x - 1 = 0 ]

Отсюда:

[ 12x = 1 \implies x = \frac{1}{12} ]

3. Определим интервалы возрастания и убывания

Теперь исследуем знак производной ( y' = 12x - 1 ) на интервалах:

• Для ( x < \frac{1}{12} ), ( 12x - 1 < 0 ), следовательно, функция убывает.
• Для ( x > \frac{1}{12} ), ( 12x - 1 > 0 ), следовательно, функция возрастает.

Таким образом, функция убывает на интервале ( (-\infty, \frac{1}{12}) ) и возрастает на интервале ( (\frac{1}{12}, \infty) ).

4. Исследуем на экстремумы

Поскольку функция меняет свое поведение с убывания на возрастание в точке ( x = \frac{1}{12} ), эта точка является точкой минимума.

Подставим ( x = \frac{1}{12} ) в исходную функцию для нахождения значения ( y ):

[ y\left(\frac{1}{12}\right) = 6\left(\frac{1}{12}\right)^2 - \frac{1}{12} - 5 ]

[ = 6 \times \frac{1}{144} - \frac{1}{12} - 5 ]

[ = \frac{6}{144} - \frac{12}{144} - \frac{720}{144} ]

[ = \frac{6 - 12 - 720}{144} = \frac{-726}{144} = -\frac{121}{24} ]

Таким образом, минимальное значение функции равно (-\frac{121}{24}) в точке ( x = \frac{1}{12} ).

5. Построение графика

Функция ( y = 6x^2 - x - 5 ) является параболой, направленной вверх, так как коэффициент при ( x^2 ) положителен. Учитывая, что вершина параболы находится в точке минимума, она расположена в точке ( \left(\frac{1}{12}, -\frac{121}{24}\right) ).

График функции выглядит как парабола, которая:

• Убывает на интервале ( (-\infty, \frac{1}{12}) ).
• Достигает минимума в точке ( \left(\frac{1}{12}, -\frac{121}{24}\right) ).
• Возрастает на интервале ( (\frac{1}{12}, \infty) ).

Для построения схематичного графика на бумаге отметьте вершину параболы в указанной точке, и проведите ветви параболы, убывающую слева и возрастающую справа от этой точки.