Исследуйте функцию y=e^x(3x-2) на монотонность и экстремумы.срочно надо

Для исследования функции y=e^x(3x-2) на монотонность и экстремумы необходимо найти производную функции и решить уравнения f'(x)=0 и f''(x)>0.

Исследуем функцию ( y = e^x(3x - 2) ) на монотонность и экстремумы.

1. Найдем первую производную функции ( y ): Чтобы определить монотонность и экстремумы функции, нам нужно найти её первую производную. Для этого используем правило произведения:

   ( y = e^x(3x - 2) )

   Пусть ( u = e^x ) и ( v = 3x - 2 ), тогда: [ y' = u'v + uv' ]

   Найдём производные ( u ) и ( v ): [ u' = \frac{d}{dx} e^x = e^x ] [ v' = \frac{d}{dx} (3x - 2) = 3 ]

   Теперь подставим это в формулу для производной произведения: [ y' = e^x(3x - 2)' + (e^x)'(3x - 2) ] [ y' = e^x \cdot 3 + e^x \cdot (3x - 2) ] [ y' = 3e^x + 3x e^x - 2e^x ] [ y' = e^x (3 + 3x - 2) ] [ y' = e^x (3x + 1) ]

2. Исследуем знак первой производной ( y' ): Функция ( e^x ) всегда положительна для всех ( x ), поэтому знак ( y' ) определяется знаком выражения ( 3x + 1 ).

   Решим неравенство ( 3x + 1 > 0 ) для определения интервалов монотонности: [ 3x + 1 > 0 ] [ 3x > -1 ] [ x > -\frac{1}{3} ]

   Таким образом:

   • На интервале ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ) выражение ( 3x + 1 ) отрицательно, следовательно, ( y' < 0 ). Функция убывает на этом интервале.
   • На интервале ( (-\frac{1}{3}, +\infty) ) выражение ( 3x + 1 ) положительно, следовательно, ( y' > 0 ). Функция возрастает на этом интервале.

3. Найдем экстремумы функции ( y ): Экстремумы функции находятся в точках, где первая производная равна нулю или не существует. В данном случае производная существует везде, поэтому решим уравнение ( y' = 0 ): [ e^x (3x + 1) = 0 ]

   Так как ( e^x ) никогда не равна нулю, уравнение ( 3x + 1 = 0 ) дает: [ 3x + 1 = 0 ] [ 3x = -1 ] [ x = -\frac{1}{3} ]

   Подставим ( x = -\frac{1}{3} ) в исходную функцию ( y ), чтобы найти значение функции в этой точке: [ y\left(-\frac{1}{3}\right) = e^{-\frac{1}{3}} \left(3 \cdot -\frac{1}{3} - 2\right) = e^{-\frac{1}{3}} \left(-1 - 2\right) = e^{-\frac{1}{3}} \cdot -3 = -3e^{-\frac{1}{3}} ]

   Поскольку на интервале ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ) функция убывает, а на интервале ( (-\frac{1}{3}, +\infty) ) возрастает, точка ( x = -\frac{1}{3} ) является точкой минимума.

Итог:

• Функция ( y = e^x(3x - 2) ) убывает на интервале ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ) и возрастает на интервале ( (-\frac{1}{3}, +\infty) ).
• Точка экстремума: ( x = -\frac{1}{3} ) является точкой минимума.
• Значение функции в точке минимума: ( y\left(-\frac{1}{3}\right) = -3e^{-\frac{1}{3}} ).

Для исследования функции y=e^x(3x-2) на монотонность и экстремумы, необходимо проанализировать ее производные.

1. Найдем производную функции y по x: y' = e^x(3x-2) + e^x*3 = e^x(3x+1)

2. Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: e^x(3x+1) = 0 3x + 1 = 0 3x = -1 x = -1/3

3. Проверим знак производной в окрестностях найденной точки экстремума:

   • Для x < -1/3: При подстановке x = -1 в производную получаем отрицательное значение, следовательно, функция убывает на этом интервале.
   • Для x > -1/3: При подстановке x = 0 в производную получаем положительное значение, следовательно, функция возрастает на этом интервале.

Итак, получаем, что функция y=e^x(3x-2) убывает на интервале (-∞, -1/3) и возрастает на интервале (-1/3, +∞). Точка x = -1/3 является точкой локального минимума функции.

Надеюсь, данное объяснение поможет вам разобраться с исследованием функции на монотонность и экстремумы.