Исследуйте функцию y=x-x^3 на монотонность и экстремумы и постройте ее график

Чтобы исследовать функцию ( y = x - x^3 ) на монотонность и экстремумы, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем первую производную функции:

   ( y = x - x^3 )

   ( y' = \frac{d}{dx}(x - x^3) = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(x^3) = 1 - 3x^2 )

2. Исследуем первую производную на знаки, чтобы определить интервалы монотонности:

   Для этого найдем нули первой производной:

   ( y' = 1 - 3x^2 = 0 )

   Решим уравнение:

   ( 1 - 3x^2 = 0 )

   ( 3x^2 = 1 )

   ( x^2 = \frac{1}{3} )

   ( x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} )

   Таким образом, критические точки функции: ( x = \frac{1}{\sqrt{3}} ) и ( x = -\frac{1}{\sqrt{3}} ).

3. Определим знаки первой производной на интервалах, разделенных критическими точками:

   Разделим числовую ось на интервалы ((-\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}})), ((- \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})) и ((\frac{1}{\sqrt{3}}, \infty)).

   Для интервала ((-\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}})):

   Возьмем пробную точку ( x = -1 ):

   ( y'(-1) = 1 - 3(-1)^2 = 1 - 3 = -2 )

   Первая производная отрицательна, значит, функция убывает на этом интервале.

   Для интервала ((- \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})):

   Возьмем пробную точку ( x = 0 ):

   ( y'(0) = 1 - 3(0)^2 = 1 )

   Первая производная положительна, значит, функция возрастает на этом интервале.

   Для интервала ((\frac{1}{\sqrt{3}}, \infty)):

   Возьмем пробную точку ( x = 1 ):

   ( y'(1) = 1 - 3(1)^2 = 1 - 3 = -2 )

   Первая производная отрицательна, значит, функция убывает на этом интервале.

4. Определим экстремумы функции:

   В точках ( x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} ) первая производная меняет знак, что означает наличие экстремумов.

   Найдем значения функции в этих точках:

   ( y\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9} )

   ( y\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} - \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3 = -\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3\sqrt{3}} = -\frac{2}{3\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{9} )

   Таким образом, в точке ( x = \frac{1}{\sqrt{3}} ) функция имеет локальный максимум ( y = \frac{2\sqrt{3}}{9} ), а в точке ( x = -\frac{1}{\sqrt{3}} ) функция имеет локальный минимум ( y = -\frac{2\sqrt{3}}{9} ).

5. Построение графика функции:

   Теперь, когда у нас есть информация о монотонности и экстремумах, мы можем построить график функции ( y = x - x^3 ).

   • График пересекает ось ( y ) в точке ( (0, 0) ).
   • На интервале ( (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}}) ) функция убывает.
   • В точке ( x = -\frac{1}{\sqrt{3}} ) функция имеет локальный минимум.
   • На интервале ( (-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}) ) функция возрастает.
   • В точке ( x = \frac{1}{\sqrt{3}} ) функция имеет локальный максимум.
   • На интервале ( (\frac{1}{\sqrt{3}}, \infty) ) функция убывает.

График функции будет иметь форму кубической параболы, пересекающей ось ( y ) в точке ( (0,0) ), с локальным минимумом в точке ( x = -\frac{1}{\sqrt{3}} ) и локальным максимумом в точке ( x = \frac{1}{\sqrt{3}} ).

Для исследования функции y=x-x^3 на монотонность и экстремумы нужно найти производные функции и решить уравнения y'=0 и y''>0.

1. Найдем производную функции y=x-x^3: y' = 1 - 3x^2

2. Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 1 - 3x^2 = 0 3x^2 = 1 x^2 = 1/3 x = ±√(1/3)

3. Исследуем знак производной в окрестностях найденных точек экстремума: При x < -√(1/3): y' > 0, функция возрастает При -√(1/3) < x < √(1/3): y' < 0, функция убывает При x > √(1/3): y' > 0, функция возрастает

4. Найдем вторую производную функции y=x-x^3: y'' = -6x

5. Проверим знак второй производной в точках экстремума: y''(-√(1/3)) = -6(-√(1/3)) > 0, значит в точке x = -√(1/3) функция имеет локальный минимум y''(√(1/3)) = -6(√(1/3)) < 0, значит в точке x = √(1/3) функция имеет локальный максимум

Теперь построим график функции y=x-x^3, учитывая найденные экстремумы и монотонность:

График функции будет убывать до точки x = -√(1/3), затем достигнет локального минимума и начнет возрастать до точки x = √(1/3), после чего опять начнет убывать.

На графике можно отметить точки экстремума (-√(1/3), f(-√(1/3))) и (√(1/3), f(√(1/3))), а также направление возрастания и убывания функции в указанных интервалах.