Исследуйте функцию y=x²/x-2 на монотонность и экстремумы. Очень надо! срочно!

Функция y = x²/(x-2) не является монотонной на всей области определения, так как имеет точку разрыва при x = 2. Однако, можно заметить, что функция возрастает на интервале (-бесконечность, 2) и убывает на интервале (2, +бесконечность). Чтобы найти экстремумы функции, необходимо найти её производные и решить уравнение f'(x) = 0.

Для исследования функции y=x²/(x-2) на монотонность и экстремумы необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем область определения функции: Функция y=x²/(x-2) имеет областью определения все значения x, кроме x=2, так как знаменатель не может быть равен нулю.

2. Найдем производную функции: Для этого преобразуем функцию: y=x²/(x-2) = x(x-2)/(x-2) = x. Теперь найдем производную функции y=x по x: y'=1.

3. Исследуем знак производной: Так как производная постоянная и равна 1, то она всегда положительна. Это означает, что функция y=x²/(x-2) монотонно возрастает на всей области определения.

4. Найдем точки экстремума: Так как функция монотонно возрастает, у нее нет точек экстремума.

Итак, исследовав функцию y=x²/(x-2) на монотонность и экстремумы, мы пришли к выводу, что она монотонно возрастает на всей области определения и не имеет точек экстремума.

Для исследования функции ( y = \frac{x^2}{x-2} ) на монотонность и экстремумы, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Область определения функции: Функция не определена в точке ( x = 2 ), так как знаменатель обращается в ноль. Таким образом, область определения функции: ( x \in \mathbb{R} \setminus {2} ).

2. Найдем производную функции: Функция имеет вид дроби ( y = \frac{u}{v} ), где ( u = x^2 ) и ( v = x - 2 ). Используем правило дифференцирования частного: [ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} ] где ( u' = 2x ) и ( v' = 1 ).

   Подставляем производные: [ y' = \frac{(2x)(x-2) - (x^2)(1)}{(x-2)^2} ]

   Упростим числитель: [ y' = \frac{2x^2 - 4x - x^2}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x}{(x-2)^2} ]

   Производная функции: [ y' = \frac{x(x-4)}{(x-2)^2} ]

3. Исследуем монотонность: Найдем точки, где производная равна нулю или не существует.

   • ( y' = 0 ) при ( x(x-4) = 0 ), то есть ( x = 0 ) или ( x = 4 ).
   • Производная не существует в точке ( x = 2 ) (так как функция не определена в этой точке).

   Разбиваем область определения на интервалы: ( (-\infty, 0) ), ( (0, 2) ), ( (2, 4) ), и ( (4, \infty) ).

   Проверим знак производной на каждом из интервалов:

   • На интервале ( (-\infty, 0) ): выберем ( x = -1 ), ( y' = \frac{-1(-5)}{9} > 0 ). Значит, функция возрастает.
   • На интервале ( (0, 2) ): выберем ( x = 1 ), ( y' = \frac{1(-3)}{1} < 0 ). Значит, функция убывает.
   • На интервале ( (2, 4) ): выберем ( x = 3 ), ( y' = \frac{3(-1)}{1} < 0 ). Значит, функция убывает.
   • На интервале ( (4, \infty) ): выберем ( x = 5 ), ( y' = \frac{5(1)}{9} > 0 ). Значит, функция возрастает.

4. Найдем экстремумы:

   • В точке ( x = 0 ) производная меняет знак с положительного на отрицательный, следовательно, в этой точке функция имеет локальный максимум.
   • В точке ( x = 4 ) производная меняет знак с отрицательного на положительный, следовательно, в этой точке функция имеет локальный минимум.

Таким образом, функция ( y = \frac{x^2}{x-2} ) возрастает на интервалах ( (-\infty, 0) ) и ( (4, \infty) ), убывает на интервалах ( (0, 2) ) и ( (2, 4) ). Локальный максимум в точке ( x = 0 ), локальный минимум в точке ( x = 4 ).