Исследуйте на четность функцию:
1)y=x^7+3x^3+x
2)y=x^8-6x^4+2
3)y=x^2-8/x^5
4)y=x^2-4x/x-4
Исследуйте на четность функцию:
1)y=x^7+3x^3+x
2)y=x^8-6x^4+2
3)y=x^2-8/x^5
4)y=x^2-4x/x-4
Для исследования функции на четность или нечетность необходимо выяснить, как она ведет себя при замене ( x ) на (-x). Функция называется четной, если ( f(-x) = f(x) ) для всех ( x ) из области определения. Функция называется нечетной, если ( f(-x) = -f(x) ) для всех ( x ) из области определения. Если ни одно из этих условий не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной.
Функция ( y = x^7 + 3x^3 + x )
Проверим четность и нечетность: [ f(-x) = (-x)^7 + 3(-x)^3 + (-x) = -x^7 - 3x^3 - x ] [ -f(x) = -(x^7 + 3x^3 + x) = -x^7 - 3x^3 - x ] Мы видим, что ( f(-x) = -f(x) ), следовательно, функция является нечетной.
Функция ( y = x^8 - 6x^4 + 2 )
Проверим четность и нечетность: [ f(-x) = (-x)^8 - 6(-x)^4 + 2 = x^8 - 6x^4 + 2 ] [ f(x) = x^8 - 6x^4 + 2 ] Мы видим, что ( f(-x) = f(x) ), следовательно, функция является четной.
Функция ( y = x^2 - \frac{8}{x^5} )
Проверим четность и нечетность: [ f(-x) = (-x)^2 - \frac{8}{(-x)^5} = x^2 + \frac{8}{x^5} ] [ -f(x) = -(x^2 - \frac{8}{x^5}) = -x^2 + \frac{8}{x^5} ] Ни одно из условий не выполняется, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Функция ( y = \frac{x^2 - 4x}{x - 4} )
Проверим четность и нечетность. Сначала упростим функцию: [ y = \frac{x(x - 4)}{x - 4} = x \quad \text{при} \quad x \neq 4 ] Теперь проверим четность и нечетность упрощенной функции: [ f(-x) = -x ] [ -f(x) = -x ] Мы видим, что ( f(-x) = -f(x) ), следовательно, функция является нечетной, если не учитывать точку ( x = 4 ), где функция не определена.
Таким образом, функции 1 и 4 являются нечетными, функция 2 — четная, а функция 3 не является ни четной, ни нечетной.
1) Функция y=x^7+3x^3+x не является четной, так как при замене x на -x в нее не получится идентичное выражение. Четная функция симметрична относительно оси ординат, т.е. f(x) = f(-x), однако в данном случае это условие не выполняется.
2) Функция y=x^8-6x^4+2 также не является четной, так как при замене x на -x в нее не получится идентичное выражение. Также она не является нечетной, так как f(x) ≠ -f(-x).
3) Функция y=x^2-8/x^5 является нечетной, так как f(x) = -f(-x). При замене x на -x получится -(-8/(-x)^5) = 8/x^5, что эквивалентно f(-x).
4) Функция y=x^2-4x/x-4 не является ни четной, ни нечетной. При замене x на -x в нее не получится идентичное выражение, а также не выполняется условие f(x) = -f(-x).
1) Функция нечетная, так как при замене х на -х получим y = -x^7 - 3x^3 - x, что не равно исходной функции. 2) Функция четная, так как при замене х на -х получим y = x^8 - 6x^4 + 2, что равно исходной функции. 3) Функция нечетная, так как при замене х на -х получим y = x^2 + 8/x^5, что не равно исходной функции. 4) Функция четная, так как при замене х на -х получим y = x^2 + 4x/x + 4, что равно исходной функции.
