Из цифр 1,2,3,4,5 составлены всевозможные трёхзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких, которые: а) кратны 3. б) кратны 4. в)кратны 5
Из цифр 1,2,3,4,5 составлены всевозможные трёхзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких, которые: а) кратны 3. б) кратны 4. в)кратны 5
Давайте рассмотрим каждую часть вопроса по порядку.
Трёхзначные числа без повторения цифр могут быть составлены из цифр 1, 2, 3, 4, 5. Всего их будет (5 \times 4 \times 3 = 60) трёхзначных чисел.
Число кратно 3, если сумма его цифр делится на 3. Сначала определим все возможные суммы цифр трёхзначных чисел и проверим, какие из них делятся на 3.
Для цифр 1, 2, 3, 4, 5 возможные трёхзначные комбинации и их суммы:
Из 10 возможных сумм, только 4 делятся на 3: 6, 9, 9 и 12. Соответственно, комбинации цифр, которые дают эти суммы:
Для каждой комбинации цифр можно составить (3! = 6) чисел. Итак, всего чисел: (4 \times 6 = 24).
Число кратно 4, если последние две цифры образуют число, кратное 4. Рассмотрим все возможные комбинации последних двух цифр:
Из возможных комбинаций последних двух цифр, только (12), (24) и (32) являются кратными 4.
Для каждой комбинации последних двух цифр есть 3 варианта первой цифры (из оставшихся 3 цифр). Например:
Итак, всего чисел: (3 \times 3 = 9).
Число кратно 5, если оно оканчивается на 5. Рассмотрим все возможные комбинации для трёхзначного числа, оканчивающегося на 5:
Цифра 5 фиксирована на последнем месте, на первые два места остаются цифры 1, 2, 3 и 4.
Возможные комбинации первых двух цифр:
Всего таких комбинаций 12 (по 3 для каждой из 4 цифр). Итак, всего чисел: (4 \times 3 = 12).
Таким образом, среди всевозможных трёхзначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (без повторения цифр) есть 24 числа, кратные 3, 9 чисел, кратные 4, и 12 чисел, кратные 5.
а) Кратны 3: 60 таких чисел б) Кратны 4: 24 таких числа в) Кратны 5: 12 таких чисел
а) Для того чтобы число было кратно 3, сумма его цифр должна быть кратна 3. В данном случае сумма всех цифр равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, что кратно 3. Таким образом, все трехзначные числа, составленные из цифр 1, 2, 3, 4, 5 и кратные 3, будут соответствовать всем возможным трехзначным числам, так как все они будут иметь сумму цифр, кратную 3.
б) Чтобы число было кратно 4, необходимо, чтобы последние две цифры (десятки и единицы) вместе образовывали число, кратное 4. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить только одно число, кратное 4 - 12. Таким образом, количество трехзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5 и кратных 4, будет равно количеству перестановок цифр 1, 2, 5, которые равно 3! = 6.
в) Чтобы число было кратно 5, его последняя цифра должна быть 5. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить только одно трехзначное число, оканчивающееся на 5. Следовательно, количество трехзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5 и кратных 5, равно 1.
