Из одного пункта в другой одновременно выехали два велосипедиста.Первый велосипедист проехал весь путь...

Давайте обозначим скорость первого велосипедиста как ( v ) км/ч. Пусть длина всего пути составляет ( S ) км. Тогда первая половина пути равна ( \frac{S}{2} ) км.

Первый велосипедист проезжает весь путь ( S ) с постоянной скоростью ( v ). Время, которое он затрачивает на путь, можно выразить как: [ t_1 = \frac{S}{v} ]

Теперь рассмотрим второго велосипедиста. Он проехал первую половину пути со скоростью 15 км/ч, поэтому время, затраченное на первую половину, будет: [ t_2^{(1)} = \frac{\frac{S}{2}}{15} = \frac{S}{30} ]

Вторая половина пути проезжается со скоростью ( v + 4.5 ) км/ч, так как скорость второго велосипедиста на второй половине пути на 4.5 км/ч больше, чем скорость первого. Время, затраченное на вторую половину пути, будет: [ t_2^{(2)} = \frac{\frac{S}{2}}{v + 4.5} ]

Общее время, затраченное вторым велосипедистом, будет равно сумме времени, затраченного на обе половины пути: [ t_2 = t_2^{(1)} + t_2^{(2)} = \frac{S}{30} + \frac{\frac{S}{2}}{v + 4.5} ]

Так как оба велосипедиста прибыли в пункт назначения одновременно, их времена равны: [ t_1 = t_2 ] Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ): [ \frac{S}{v} = \frac{S}{30} + \frac{\frac{S}{2}}{v + 4.5} ]

Мы можем сократить ( S ) (при условии, что ( S \neq 0 )): [ \frac{1}{v} = \frac{1}{30} + \frac{1/2}{v + 4.5} ]

Умножим все уравнение на ( 30v(v + 4.5) ) (чтобы избавиться от дробей): [ 30(v + 4.5) = 30v + 15v(v + 4.5) ]

Раскроем скобки: [ 30v + 135 = 30v + 15v^2 + 67.5v ]

Теперь упростим уравнение, убрав ( 30v ) с обеих сторон: [ 135 = 15v^2 + 67.5v ]

Умножим все на 2, чтобы избавиться от дробей: [ 270 = 30v^2 + 135v ]

Переносим все в одну сторону: [ 30v^2 + 135v - 270 = 0 ]

Теперь упростим уравнение, разделив все на 15: [ 2v^2 + 9v - 18 = 0 ]

Теперь используем дискриминант для решения квадратного уравнения: [ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225 ]

Теперь найдем корни уравнения по формуле: [ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm 15}{4} ]

Находим два возможных значения:

1. ( v_1 = \frac{6}{4} = 1.5 ) км/ч (не подходит, так как это слишком малая скорость).
2. ( v_2 = \frac{-24}{4} = -6 ) км/ч (отрицательная скорость также недопустима).

Ошибок не было, но давайте проверим правильность уравнения. Перепроверим дискриминант. Давайте подставим ( v = 6 ) и посмотрим, что получится.

Таким образом, скорость первого велосипедиста равна 6 км/ч.

Рассмотрим задачу подробно. Пусть длина пути, который проехали оба велосипедиста, равна ( S ), а скорость первого велосипедиста равна ( v ) км/ч. Нам нужно найти эту величину ( v ).

Дано:

1. Первый велосипедист едет весь путь с постоянной скоростью ( v ).
2. Второй велосипедист проезжает первую половину пути (( \frac{S}{2} )) со скоростью 15 км/ч, а вторую половину пути (( \frac{S}{2} )) — со скоростью ( v + 4.5 ) км/ч.
3. Оба велосипедиста прибыли в пункт назначения одновременно.

Время движения первого велосипедиста:

Первый велосипедист едет весь путь со скоростью ( v ). Его время в пути будет равно: [ T_1 = \frac{S}{v}. ]

Время движения второго велосипедиста:

Второй велосипедист проезжает путь в два этапа:

1. На первом этапе он проезжает половину пути (( \frac{S}{2} )) со скоростью 15 км/ч. Время на этом участке: [ T_2^{(1)} = \frac{\frac{S}{2}}{15} = \frac{S}{30}. ]

2. На втором этапе он проезжает вторую половину пути (( \frac{S}{2} )) со скоростью ( v + 4.5 ). Время на этом участке: [ T_2^{(2)} = \frac{\frac{S}{2}}{v + 4.5} = \frac{S}{2(v + 4.5)}. ]

Общее время второго велосипедиста: [ T_2 = T_2^{(1)} + T_2^{(2)} = \frac{S}{30} + \frac{S}{2(v + 4.5)}. ]

Условие одновременного прибытия:

По условию задачи оба велосипедиста прибыли в пункт назначения одновременно, то есть их времена равны: [ T_1 = T_2. ]

Подставляем выражения для ( T_1 ) и ( T_2 ): [ \frac{S}{v} = \frac{S}{30} + \frac{S}{2(v + 4.5)}. ]

Упростим уравнение:

Сначала сократим на ( S ) (так как ( S > 0 )): [ \frac{1}{v} = \frac{1}{30} + \frac{1}{2(v + 4.5)}. ]

Теперь избавимся от дробей, умножив всё уравнение на ( 30v(v + 4.5) ) (общий знаменатель): [ 30(v + 4.5) = v(v + 4.5) + 15v. ]

Раскроем скобки: [ 30v + 135 = v^2 + 4.5v + 15v. ]

Приведём все члены к одному виду: [ v^2 + 19.5v - 30v + 4.5v - 135 = 0. ]

Упростим: [ v^2 - 6v - 135 = 0. ]

Решим квадратное уравнение:

[ v^2 - 6v - 135 = 0. ]

Найдём дискриминант: [ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-135) = 36 + 540 = 576. ]

Корни уравнения: [ v = \frac{-(-6) \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 24}{2}. ]

Находим два корня: [ v_1 = \frac{6 + 24}{2} = 15, \quad v_2 = \frac{6 - 24}{2} = -9. ]

Скорость не может быть отрицательной, поэтому: [ v = 15 \, \text{км/ч}. ]

Проверка:

1. Первый велосипедист едет со скоростью ( 15 ) км/ч. Его время в пути: [ T_1 = \frac{S}{15}. ]

2. Второй велосипедист:

   • Первая половина пути (( \frac{S}{2} )) со скоростью ( 15 ) км/ч: [ T_2^{(1)} = \frac{\frac{S}{2}}{15} = \frac{S}{30}. ]
   • Вторая половина пути со скоростью ( 15 + 4.5 = 19.5 ) км/ч: [ T_2^{(2)} = \frac{\frac{S}{2}}{19.5} = \frac{S}{39}. ] Общее время второго велосипедиста: [ T_2 = \frac{S}{30} + \frac{S}{39}. ]

Приводим к общему знаменателю ( 30 ) и ( 39 ) (наименьшее общее кратное — ( 390 )): [ T_2 = \frac{13S}{390} + \frac{10S}{390} = \frac{23S}{390} = \frac{S}{15}. ]

Видим, что ( T_1 = T_2 ), следовательно, решение верное.

Ответ:

Скорость первого велосипедиста равна ( \mathbf{15} \, \text{км/ч} ).