Из поселка в город,до которого 150 км,. отправились одновременно легковой и грузовой автомобили.Скорость легкового автомобиля была на 10 км/час больше скорости грузового,поэтому он затратил на весь путь на 1/2ч. меньше времени,чем грузовой.Найдите скорость грузового автомобиля
Давайте обозначим скорость грузового автомобиля как ( v ) км/ч. Поскольку скорость легкового автомобиля на 10 км/ч больше, его скорость можно записать как ( v + 10 ) км/ч.
Теперь можно выразить время, затраченное каждым автомобилем на поездку в 150 км. Время для грузового автомобиля будет равно:
[ t_{\text{груз}} = \frac{150}{v} ]
А время для легкового автомобиля:
[ t_{\text{легк}} = \frac{150}{v + 10} ]
Согласно условию задачи, легковой автомобиль затратил на 0,5 часа меньше времени, чем грузовой, что можно записать как:
[ t{\text{груз}} - t{\text{легк}} = \frac{1}{2} ]
Подставляем выражения для времени:
[ \frac{150}{v} - \frac{150}{v + 10} = \frac{1}{2} ]
Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на ( 2v(v + 10) ), чтобы избавиться от дробей:
[ 2 \cdot 150(v + 10) - 2 \cdot 150v = v(v + 10) ]
Упрощаем уравнение:
[ 300v + 3000 - 300v = v^2 + 10v ]
Сокращаем ( 300v ):
[ 3000 = v^2 + 10v ]
Перепишем уравнение в стандартной форме:
[ v^2 + 10v - 3000 = 0 ]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:
[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
где ( a = 1 ), ( b = 10 ), ( c = -3000 ). Подставим значения:
[ v = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000)}}{2 \cdot 1} ]
Вычислим дискриминант:
[ b^2 - 4ac = 100 + 12000 = 12100 ]
Теперь вычислим корень:
[ \sqrt{12100} = 110 ]
Подставляем дискриминант обратно в формулу:
[ v = \frac{-10 \pm 110}{2} ]
Рассмотрим два случая:
Таким образом, скорость грузового автомобиля:
[ v = 50 \text{ км/ч} ]
Теперь найдем скорость легкового автомобиля:
[ v + 10 = 50 + 10 = 60 \text{ км/ч} ]
Итак, ответ: скорость грузового автомобиля составляет 50 км/ч.
Давайте решим задачу пошагово.
1. Обозначим неизвестные и составим уравнение:
Пусть скорость грузового автомобиля равна ( x ) км/ч. Тогда скорость легкового автомобиля, так как она на 10 км/ч больше, равна ( x + 10 ) км/ч.
Время, затраченное на путь, можно выразить через формулу:
[ \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} ]
Для грузового автомобиля: время пути равно ( \frac{150}{x} ).
Для легкового автомобиля: время пути равно ( \frac{150}{x+10} ).
По условию задачи, легковой автомобиль затратил на путь на 0,5 часа меньше, чем грузовой. Запишем это в виде уравнения:
[ \frac{150}{x} - \frac{150}{x+10} = 0.5 ]
2. Преобразуем уравнение:
Найдем общий знаменатель для дробей: ( x(x+10) ). Уравнение принимает вид:
[ \frac{150(x+10) - 150x}{x(x+10)} = 0.5 ]
Раскроем скобки в числителе:
[ \frac{150x + 1500 - 150x}{x(x+10)} = 0.5 ]
Упростим:
[ \frac{1500}{x(x+10)} = 0.5 ]
Умножим обе стороны уравнения на ( x(x+10) ), чтобы избавиться от дробей (при этом предполагаем, что ( x > 0 )):
[ 1500 = 0.5 \cdot x(x+10) ]
Упростим правую часть:
[ 1500 = 0.5x^2 + 5x ]
Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от десятичного коэффициента:
[ 3000 = x^2 + 10x ]
3. Приведем уравнение к стандартному виду:
[ x^2 + 10x - 3000 = 0 ]
Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта.
4. Найдем дискриминант:
Формула дискриминанта: ( D = b^2 - 4ac ), где ( a = 1 ), ( b = 10 ), ( c = -3000 ).
[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) ]
[ D = 100 + 12000 = 12100 ]
5. Найдем корни уравнения:
Формула корней квадратного уравнения:
[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]
Подставим значения:
[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{12100}}{2} ]
[ x = \frac{-10 \pm 110}{2} ]
Рассмотрим два варианта:
Скорость не может быть отрицательной, поэтому ( x = 50 ).
6. Ответ:
Скорость грузового автомобиля равна 50 км/ч.
Скорость легкового автомобиля, соответственно, равна ( 50 + 10 = 60 ) км/ч.
Проверка:
Время, затраченное грузовым автомобилем:
[ \frac{150}{50} = 3 \, \text{ч.} ]
Время, затраченное легковым автомобилем:
[ \frac{150}{60} = 2.5 \, \text{ч.} ]
Разность во времени:
[ 3 - 2.5 = 0.5 \, \text{ч.} ]
Условие задачи выполнено, ответ верен.
