Из пунктов A и B, расстояние между которыми 27 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 15 км от А. Найдите скорость пешехода, шедшего из А, если известно, что он шёл со скоростью, на 2 км/ч большей, чем второй пешеход, и сделал в пути получасовую остановку. (подробное решение)
Обозначим скорость первого пешехода за V км/ч. Тогда скорость второго пешехода будет (V-2) км/ч.
Пусть время, которое шел первый пешеход до остановки, равно t часов. Тогда время, которое он шел после остановки, равно (0.5 - t) часов.
Расстояние, которое прошел первый пешеход до остановки, равно Vt км. Расстояние, которое прошел первый пешеход после остановки, равно V(0.5 - t) км.
Расстояние между пешеходами в момент встречи равно 27 - 15 = 12 км.
Теперь можем записать уравнение:
Vt + (V-2)(0.5 - t) = 12
Vt + 0.5V - 2 - Vt + 2t = 12
0.5V + 2t = 14
Также у нас есть условие, что пешеходы встретились через 15 км от точки A:
V*t = 15
Теперь можем решить систему уравнений:
V*t = 15
0.5V + 2t = 14
Подставляем первое уравнение во второе:
0.5*15 + 2t = 14
7.5 + 2t = 14
2t = 6.5
t = 3.25
Теперь можем найти скорость первого пешехода:
V = 15 / 3.25 = 4.615 км/ч
Таким образом, скорость первого пешехода, шедшего из точки A, составляет около 4.615 км/ч.
Для решения этой задачи используем основные понятия и формулы движения.
Обозначим переменные:
Известные данные:
Формулируем уравнения:
Пешеход из пункта A прошёл 15 км до встречи. Пешеход из пункта B прошёл ( 27 - 15 = 12 ) км до встречи.
Время пути пешехода из пункта A (не считая остановки): [ t_1 = \frac{15}{v_1} ] Время пути пешехода из пункта B: [ t_2 = \frac{12}{v_2} ]
С учетом остановки:
Время движения пешехода из пункта A (с учетом остановки) равно времени движения пешехода из пункта B: [ t_1 + 0.5 = t_2 ]
Связь между скоростями: [ v_1 = v_2 + 2 ]
Подставляем ( v_2 = v_1 - 2 ) в уравнение времени:
[ \frac{15}{v_1} + 0.5 = \frac{12}{v_1 - 2} ]
Решаем уравнение:
Приводим все к общему знаменателю и решаем относительно ( v_1 ): [ \frac{15}{v_1} + 0.5 = \frac{12}{v_1 - 2} ] Умножаем обе стороны на ( v_1(v_1 - 2) ) для избавления от дробей: [ 15(v_1 - 2) + 0.5 v_1(v_1 - 2) = 12 v_1 ] Раскрываем скобки: [ 15v_1 - 30 + 0.5 v_1^2 - v_1 = 12 v_1 ] Приводим подобные члены: [ 0.5 v_1^2 + 2 v_1 - 30 = 0 ]
Решаем квадратное уравнение:
Умножаем на 2 для удобства: [ v_1^2 + 4 v_1 - 60 = 0 ] Используем формулу квадратного уравнения: [ v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] Здесь ( a = 1 ), ( b = 4 ), ( c = -60 ): [ v_1 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 240}}{2} ] [ v_1 = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{2} ] [ v_1 = \frac{-4 \pm 16}{2} ] [ v_1 = 6 \quad \text{(положительное значение, т.к. скорость не может быть отрицательной)} ]
Ответ:
Скорость пешехода, шедшего из пункта A, равна 6 км/ч.
Обозначим скорость первого пешехода через V1, а второго - через V2. По условию известно, что V1 = V2 + 2.
Пусть время движения обоих пешеходов до встречи равно t часов. Тогда расстояние, пройденное первым пешеходом до встречи, равно V1t, а вторым - V2t. Учитывая, что пешеход из пункта A сделал полчасовую остановку, его время движения будет равно t + 0.5 часа.
Таким образом, с учётом времени остановки, расстояние между пунктами A и B можно представить в виде уравнения: 27 = (V1(t+0.5)) + (V2t).
Также известно, что пешеходы встретились через 15 км от пункта A: 15 = V1*t.
Подставим V1 из первого уравнения во второе: 15 = (V2 + 2)t, 15 = V2t + 2t.
Теперь выразим t из этого уравнения: t = 15 / (V2 + 2).
Подставляем t в первое уравнение и находим V2: 27 = ((V2 + 2)(15 / (V2 + 2) + 0.5)) + (V2(15 / (V2 + 2))), 27 = 15 + 0.5(V2 + 2) + 15, 27 = 30 + 0.5V2 + 15 - 15, 27 = 0.5V2 + 30, 0.5V2 = -3, V2 = -6 км/ч.
Таким образом, скорость второго пешехода V2 равна -6 км/ч. Тогда скорость первого пешехода V1 равна V2 + 2 = -6 + 2 = -4 км/ч. Поскольку скорость не может быть отрицательной, получаем, что скорость пешехода, шедшего из пункта A, равна 4 км/ч.
