Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств {x^2+y^2 меньше или =4 {у меньше или =х^2+1
Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств {x^2+y^2 меньше или =4 {у меньше или =х^2+1
Чтобы изобразить на координатной плоскости множество решений данной системы неравенств, необходимо рассмотреть каждое неравенство отдельно и затем найти их пересечение.
Это неравенство определяет круг с центром в точке ((0, 0)) и радиусом 2. Все точки внутри этого круга и на его границе удовлетворяют данному неравенству. Формально, это множество всех точек ((x, y)), расстояние от которых до начала координат не превышает 2.
Это неравенство определяет область на координатной плоскости, которая находится ниже или на параболе ( y = x^2 + 1 ). Парабола имеет вершину в точке ((0, 1)) и открыта вверх.
Круг: Нарисуйте круг с центром в начале координат и радиусом 2. Включите границу круга, поскольку у нас неравенство (\leq).
Парабола: Нарисуйте параболу ( y = x^2 + 1 ). Она проходит через точку ((0, 1)), а также через точки ((-1, 2)) и ((1, 2)), так как ( y = x^2 + 1) будет равен 2 при ( x = \pm 1).
Область пересечения: Множество решений системы неравенств — это область, которая одновременно удовлетворяет обоим условиям. Это означает, что вам нужно найти пересечение области внутри круга с областью ниже или на параболе.
Находите точку пересечения параболы и окружности, если такие существуют. Для этого решите уравнение системы: [ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \ y = x^2 + 1 \end{cases} ] Подставьте второе уравнение в первое: [ x^2 + (x^2 + 1)^2 = 4 ] [ x^2 + x^4 + 2x^2 + 1 = 4 ] [ x^4 + 3x^2 - 3 = 0 ] Решите это уравнение, чтобы найти точки пересечения.
Обозначьте область, которая удовлетворяет обоим неравенствам, затушевывая её на координатной плоскости.
На координатной плоскости вас интересует область внутри окружности радиуса 2, которая также лежит ниже или на параболе ( y = x^2 + 1 ). Эта область включает все точки, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно.
Множество решений системы неравенств изображается на координатной плоскости как круг радиусом 2 с центром в начале координат.
Для начала построим график первого неравенства x^2 + y^2 ≤ 4. Это уравнение задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат.
Далее построим график второго неравенства y ≤ x^2 + 1. Это уравнение задает параболу, смещенную вверх относительно оси x на 1 единицу.
Итак, наши ограничения для множества решений данной системы неравенств будут заключены в области, где выполняются оба условия одновременно. Получаем, что требуется найти пересечение окружности и параболы.
На рисунке будет видно, что это пересечение будет лежать внутри окружности и выше параболы (ограничения y ≤ x^2 + 1 и x^2 + y^2 ≤ 4). Таким образом, на координатной плоскости множество решений данной системы неравенств будет представлено в виде сегмента параболы, ограниченного окружностью.
