Извесно,что ctg t=-21/20,П/2<t<П.Вычислите sin t,cos t ,tg t

Дано, что ctg t = -21/20. Так как ctg t = cos t / sin t, то cos t = -21, sin t = 20. Тогда tg t = sin t / cos t = 20 / -21 = -20 / 21.

Ответ: sin t = 20, cos t = -21, tg t = -20/21.

Для того чтобы найти значения синуса, косинуса и тангенса угла ( t ), при условии, что ( \cot t = -\frac{21}{20} ) и (\frac{\pi}{2} < t < \pi), мы можем воспользоваться следующими тригонометрическими соотношениями и свойствами тригонометрических функций.

1. Определение котангенса: [ \cot t = \frac{\cos t}{\sin t} = -\frac{21}{20} ]

2. Определение ( \sin t ) и ( \cos t ): Поскольку (\frac{\pi}{2} < t < \pi), угол ( t ) находится во второй четверти. В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

3. Связь между синусом и косинусом: Используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 ]

4. Выражение синуса через косинус: Из определения котангенса: [ \cot t = \frac{\cos t}{\sin t} = -\frac{21}{20} \implies \cos t = -\frac{21}{20} \sin t ]

5. Подстановка в основное тригонометрическое тождество: Подставим выражение для (\cos t) в основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 t + \left(-\frac{21}{20} \sin t\right)^2 = 1 ] [ \sin^2 t + \frac{441}{400} \sin^2 t = 1 ] [ \sin^2 t \left(1 + \frac{441}{400}\right) = 1 ] [ \sin^2 t \left(\frac{400 + 441}{400}\right) = 1 ] [ \sin^2 t \left(\frac{841}{400}\right) = 1 ] [ \sin^2 t = \frac{400}{841} ] [ \sin t = \pm \sqrt{\frac{400}{841}} ] Поскольку (\sin t) во второй четверти положителен: [ \sin t = \sqrt{\frac{400}{841}} = \frac{20}{29} ]

6. Нахождение ( \cos t ): Теперь подставим найденное значение (\sin t) в выражение для (\cos t): [ \cos t = -\frac{21}{20} \sin t = -\frac{21}{20} \cdot \frac{20}{29} = -\frac{21}{29} ]

7. Определение ( \tan t ): [ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\frac{20}{29}}{-\frac{21}{29}} = -\frac{20}{21} ]

Итак, мы нашли значения тригонометрических функций угла ( t ): [ \sin t = \frac{20}{29} ] [ \cos t = -\frac{21}{29} ] [ \tan t = -\frac{20}{21} ]

Для начала найдем синус, косинус и тангенс угла t, используя известное значение котангенса.

Так как ctg t = -21/20, то tg t = 1/ctg t = -20/21.

Затем, используя тригонометрические соотношения, найдем sin t и cos t: sin t = sqrt(1 / (1 + tg^2 t)) = sqrt(1 / (1 + (-20/21)^2)) = sqrt(1 / (1 + 400/441)) = sqrt(1 / (841/441)) = sqrt(441/841) = 21/29.

cos t = tg t sin t = (-20/21) (21/29) = -20/29.

Теперь мы можем вычислить tg t: tg t = sin t / cos t = (21/29) / (-20/29) = -21/20.

Итак, sin t = 21/29, cos t = -20/29, tg t = -21/20.