Известно, что 2^n=512; 3^k=243.Чему равно n^2+k^2

Давайте решим задачу поэтапно:

Условие:

Даны два уравнения:

1. ( 2^n = 512 ),
2. ( 3^k = 243 ).

Необходимо найти значение ( n^2 + k^2 ).

1. Решим первое уравнение: ( 2^n = 512 )

Число ( 512 ) можно представить как степень числа ( 2 ). Распишем: [ 512 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^9. ] Отсюда: [ n = 9. ]

2. Решим второе уравнение: ( 3^k = 243 )

Число ( 243 ) можно представить как степень числа ( 3 ). Распишем: [ 243 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5. ] Отсюда: [ k = 5. ]

3. Найдем ( n^2 + k^2 )

Подставим найденные значения ( n = 9 ) и ( k = 5 ) в выражение ( n^2 + k^2 ): [ n^2 + k^2 = 9^2 + 5^2. ] Посчитаем отдельно: [ 9^2 = 81, \quad 5^2 = 25. ] Сложим: [ n^2 + k^2 = 81 + 25 = 106. ]

Ответ:

[ n^2 + k^2 = 106. ]

Для решения задачи сначала найдем значения ( n ) и ( k ).

1. Решение уравнения ( 2^n = 512 ): Чтобы определить ( n ), найдем, какое число в степени 2 дает 512. Мы можем разложить 512 на множители: [ 512 = 2^9. ] Таким образом, у нас получается: [ 2^n = 2^9 \implies n = 9. ]

2. Решение уравнения ( 3^k = 243 ): Аналогично, найдем, какое число в степени 3 дает 243. Разложим 243 на множители: [ 243 = 3^5. ] Это приводит к уравнению: [ 3^k = 3^5 \implies k = 5. ]

Теперь, когда мы нашли значения ( n ) и ( k ), можем вычислить ( n^2 + k^2 ): [ n^2 = 9^2 = 81, ] [ k^2 = 5^2 = 25. ]

Теперь сложим эти результаты: [ n^2 + k^2 = 81 + 25 = 106. ]

Таким образом, окончательный ответ: [ n^2 + k^2 = 106. ]