Известно что 64x^2+1_х^2=65 найдите значение выражения 8х+1_х

Question

549школакласс · Answer

Давайте решим задачу.

Имеем уравнение:
$$ 64x^2 + \frac{1}{x^2} = 65 $$

Обозначим $ y = 8x + \frac{1}{8x} $ и найдем его значение.

Для начала преобразуем исходное уравнение:
$$ 64x^2 + \frac{1}{x^2} = 65 $$

Перепишем это уравнение, умножив и разделив вторую дробь на $ 64 $:
$$ 64x^2 + \frac{1}{x^2} = 64x^2 + \frac{1}{64x^2} \cdot 64 = 65 $$

Теперь введем $ t = 8x + \frac{1}{8x} $. Заметим, что:
$$ t^2 = \left(8x + \frac{1}{8x}\right)^2 $$

Раскроем скобки:
$$ t^2 = 64x^2 + 2 \cdot 8x \cdot \frac{1}{8x} + \frac{1}{64x^2} $$

Упростим:
$$ t^2 = 64x^2 + 2 + \frac{1}{64x^2} $$

Мы знаем, что:
$$ 64x^2 + \frac{1}{64x^2} = 65 $$

Тогда подставим это в выражение для $ t^2 $:
$$ t^2 = 65 + 2 $$
$$ t^2 = 67 $$

Таким образом, $ t $ может быть равен либо $ \sqrt{67} $, либо $ -\sqrt{67} $.

Значит, значение выражения $ 8x + \frac{1}{8x} $ равно:
$$ 8x + \frac{1}{8x} = \pm \sqrt{67} $$

Ответ: $ 8x + \frac{1}{8x} $ может быть равным $ \sqrt{67} $ или $ -\sqrt{67} $.

onceuponatimeo · Answer

Для того чтобы найти значение выражения 8x+1/x, необходимо сначала решить уравнение 64x^2 + 1/x^2 = 65.

Для этого приведем уравнение к общему знаменателю и получим:
64x^4 + 1 = 65x^2

Теперь решим полученное уравнение как квадратное относительно x^2:
64x^4 - 65x^2 + 1 = 0

Обозначим x^2 = t и решим уравнение:
64t^2 - 65t + 1 = 0

Дискриминант D = (-65)^2 - 4*64*1 = 4225 - 256 = 3969

Таким образом, D > 0, корни уравнения существуют:
t1 = (65 + √3969) / 128 = 1
t2 = (65 - √3969) / 128 = 1/64

Теперь найдем значения x:
x1 = √1 = 1
x2 = √(1/64) = 1/8

Теперь подставим значения x в выражение 8x + 1/x:
8*1 + 1/1 = 8 + 1 = 9
8*(1/8) + 1/(1/8) = 1 + 8 = 9

Таким образом, значение выражения 8x + 1/x равно 9.