Известно, что sin t + cos t = 0,2. Найдите sin³t + cos³t.

Для решения задачи нужно воспользоваться известными тригонометрическими и алгебраическими тождествами.

Изначально нам дано уравнение:

[ \sin t + \cos t = 0.2. ]

Наша задача — найти значение выражения:

[ \sin^3 t + \cos^3 t. ]

Мы можем воспользоваться формулой суммы кубов:

[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2). ]

В данном случае ( a = \sin t ) и ( b = \cos t ), поэтому:

[ \sin^3 t + \cos^3 t = (\sin t + \cos t)((\sin t)^2 - \sin t \cos t + (\cos t)^2). ]

Мы уже знаем, что (\sin t + \cos t = 0.2).

Теперь рассмотрим выражение ((\sin t)^2 + (\cos t)^2). Существует основное тригонометрическое тождество:

[ (\sin t)^2 + (\cos t)^2 = 1. ]

Подставим это в формулу:

[ \sin^3 t + \cos^3 t = (\sin t + \cos t)(1 - \sin t \cos t). ]

Таким образом, для нахождения (\sin^3 t + \cos^3 t), нам нужно найти (\sin t \cos t).

Возведем в квадрат данное выражение (\sin t + \cos t = 0.2):

[ (\sin t + \cos t)^2 = 0.2^2. ]

Раскроем скобки:

[ (\sin t)^2 + 2\sin t \cos t + (\cos t)^2 = 0.04. ]

Подставим ((\sin t)^2 + (\cos t)^2 = 1):

[ 1 + 2\sin t \cos t = 0.04. ]

Отсюда найдем (\sin t \cos t):

[ 2\sin t \cos t = 0.04 - 1 = -0.96. ]

[ \sin t \cos t = -0.48. ]

Теперь подставим найденное значение обратно:

[ \sin^3 t + \cos^3 t = 0.2(1 - (-0.48)) = 0.2(1 + 0.48) = 0.2 \times 1.48 = 0.296. ]

Таким образом, (\sin^3 t + \cos^3 t = 0.296).

Для решения данной задачи воспользуемся формулой куба суммы: (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) В данном случае a = sin(t), b = cos(t), а также известно, что sin(t) + cos(t) = 0,2. Подставим данные значения и решим уравнение: (sin(t) + cos(t))³ = sin³(t) + cos³(t) + 3sin(t)cos(t)(sin(t) + cos(t)) (0,2)³ = sin³(t) + cos³(t) + 3sin(t)cos(t)(0,2) 0,008 = sin³(t) + cos³(t) + 0,6sin(t)cos(t) Теперь нам нужно найти значение sin(t)cos(t). Для этого воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса: sin(t)cos(t) = 0,5sin(2t) Теперь мы можем подставить это значение в уравнение и решить его: 0,008 = sin³(t) + cos³(t) + 0,3sin(2t) Таким образом, получаем, что sin³(t) + cos³(t) = 0,008 - 0,3sin(2t).

Для нахождения sin³t + cos³t воспользуемся формулой куба суммы: (sin t + cos t)³ = sin³t + 3sin t cos²t + 3sin²t cos t + cos³t Подставим известное значение sin t + cos t = 0,2: 0,2³ = sin³t + 3sin t cos²t + 3sin²t cos t + cos³t 0,008 = sin³t + 3sin t (1 - sin²t) + 3(1 - cos²t) cos t + cos³t 0,008 = sin³t + 3sin t - 3sin³t + 3cos t - 3cos³t + cos³t 0,008 = -2sin³t - 2cos³t + 3sin t + 3cos t Ответ: sin³t + cos³t = 0,996.