Как найти синус и косинус если известен тангенс 4?

Для нахождения синуса и косинуса угла, если известен его тангенс, можно воспользоваться основными тригонометрическими соотношениями.

Если тангенс угла ( \theta ) равен 4, то это можно записать как:

[ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = 4 ]

Отсюда следует, что:

[ \sin(\theta) = 4 \cos(\theta) ]

Также известно основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 ]

Подставим выражение для (\sin(\theta)) в это тождество:

[ (4 \cos(\theta))^2 + \cos^2(\theta) = 1 ]

[ 16 \cos^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 ]

[ 17 \cos^2(\theta) = 1 ]

[ \cos^2(\theta) = \frac{1}{17} ]

Теперь найдём (\cos(\theta)):

[ \cos(\theta) = \pm \sqrt{\frac{1}{17}} = \pm \frac{1}{\sqrt{17}} ]

После нахождения (\cos(\theta)), можно найти (\sin(\theta)):

[ \sin(\theta) = 4 \cos(\theta) = \pm \frac{4}{\sqrt{17}} ]

Таким образом, мы получили два возможных варианта для (\sin(\theta)) и (\cos(\theta)), так как угол может находиться в разных квадрантах. В зависимости от квадранта, знак синуса и косинуса может быть положительным или отрицательным:

1. Если (\theta) находится в первом или третьем квадранте, то (\tan(\theta) > 0), и (\sin(\theta)) и (\cos(\theta)) имеют одинаковый знак:

   • (\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{17}})
   • (\sin(\theta) = \frac{4}{\sqrt{17}})

2. Если (\theta) находится во втором или четвёртом квадранте, то (\tan(\theta) < 0), и (\sin(\theta)) и (\cos(\theta)) имеют разные знаки:

   • (\cos(\theta) = -\frac{1}{\sqrt{17}})
   • (\sin(\theta) = -\frac{4}{\sqrt{17}})

Выбор знаков зависит от конкретного контекста задачи и квадранта, в котором находится угол (\theta).

Для нахождения синуса и косинуса, если известен тангенс, можно воспользоваться следующими формулами:

1. Так как тангенс равен отношению синуса к косинусу (tg = sin/cos), то можно найти синус и косинус, разделив единицу на корень из суммы квадратов тангенса и единицы: sin = 1 / √(1 + tg^2) cos = 1 / √(1 + tg^2)

2. В данном случае, если tg = 4, то: sin = 1 / √(1 + 4^2) = 1 / √17 cos = 1 / √(1 + 4^2) = 1 / √17

Таким образом, синус и косинус равны 1/√17.