Как решить логарифмическое неравенство log5(x-3)<2

Для решения логарифмического неравенства log5(x-3) < 2 сначала перепишем его в экспоненциальной форме. По определению логарифма, уравнение log5(x-3) < 2 равносильно выражению 5^2 < x-3. Вычислим 5^2, получим 25, поэтому неравенство примет вид 25 < x-3. Теперь добавим 3 к обеим частям неравенства и получим 28 < x. Таким образом, решением исходного логарифмического неравенства log5(x-3) < 2 является интервал x > 28.

Чтобы решить логарифмическое неравенство (\log_5(x-3) < 2), нужно следовать определённым шагам для преобразования и решения неравенства. Давайте разберём этот процесс:

Шаг 1: Понимание области определения

Первым шагом в решении логарифмического неравенства является определение области, в которой логарифм определён. Логарифм (\log_5(x-3)) определён, если аргумент логарифма положителен:

[ x - 3 > 0 ]

Отсюда следует, что:

[ x > 3 ]

Шаг 2: Преобразование неравенства

Теперь, когда мы знаем область определения, можно приступить к решению неравенства. Неравенство (\log_5(x-3) < 2) можно преобразовать в экспоненциальное неравенство.

Поскольку (\log_5(a) = b) эквивалентно (a = 5^b), мы можем записать:

[ x - 3 < 5^2 ]

Шаг 3: Решение неравенства

Теперь решим полученное неравенство:

[ x - 3 < 25 ]

Добавим 3 к обеим частям неравенства:

[ x < 28 ]

Шаг 4: Объединение с областью определения

Теперь у нас есть два условия:

1. ( x > 3 )
2. ( x < 28 )

Объединяя эти условия, получаем:

[ 3 < x < 28 ]

Ответ

Таким образом, решение логарифмического неравенства (\log_5(x-3) < 2) в области действительных чисел – это интервал:

[ x \in (3, 28) ]

Это означает, что (x) может принимать любые значения от 3 до 28, не включая сами числа 3 и 28, поскольку логарифм определён только для положительных значений аргумента, а равенство исключает строгость неравенства.