Какое из чисел √16; √1,6; √0,016 является рациональным?
Какое из чисел √16; √1,6; √0,016 является рациональным?
Чтобы определить, какое из чисел ( \sqrt{16} ), ( \sqrt{1.6} ) и ( \sqrt{0.016} ) является рациональным, необходимо рассмотреть каждое из них по отдельности.
( \sqrt{16} ): [ \sqrt{16} = 4 ] Число 4 является целым числом, а значит, оно рациональное (рациональное число — это число, которое можно записать в виде дроби ( \frac{a}{b} ), где ( a ) и ( b ) — целые числа, ( b \neq 0 )).
( \sqrt{1.6} ): Чтобы оценить это значение, можно представить 1.6 в виде дроби: [ 1.6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5} ] Теперь вычислим корень: [ \sqrt{1.6} = \sqrt{\frac{8}{5}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} ] Поскольку ( \sqrt{2} ) и ( \sqrt{5} ) являются иррациональными числами, то их отношение ( \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} ) также будет иррациональным. Следовательно, ( \sqrt{1.6} ) — это иррациональное число.
( \sqrt{0.016} ): Аналогично, представим 0.016 в виде дроби: [ 0.016 = \frac{16}{1000} = \frac{2}{125} ] Теперь вычислим корень: [ \sqrt{0.016} = \sqrt{\frac{2}{125}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{125}} = \frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{25} ] Поскольку ( \sqrt{2} ) является иррациональным числом, то ( \frac{\sqrt{2}}{25} ) также является иррациональным.
Таким образом, из перечисленных чисел только ( \sqrt{16} ) является рациональным числом. Остальные числа ( \sqrt{1.6} ) и ( \sqrt{0.016} ) являются иррациональными.
Ответ: Рациональное число — ( \sqrt{16} = 4 ).
Рассмотрим каждое из чисел ( \sqrt{16} ), ( \sqrt{1,6} ) и ( \sqrt{0,016} ), чтобы определить, какое из них является рациональным.
Число ( 16 ) — это целое число, и оно является квадратом числа ( 4 ), так как:
[ \sqrt{16} = 4 ]
Число ( 4 ) — это рациональное число, так как любое целое число является рациональным (его можно представить в виде дроби ( \frac{4}{1} )).
Число ( 1,6 ) представим в виде дроби:
[ 1,6 = \frac{16}{10} ]
Упростим дробь:
[ \frac{16}{10} = \frac{8}{5} ]
Теперь найдём квадратный корень:
[ \sqrt{1,6} = \sqrt{\frac{8}{5}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}} ]
Число ( \sqrt{8} ) равно ( 2\sqrt{2} ), а ( \sqrt{5} ) остаётся иррациональным. Деление иррационального числа на другое иррациональное не гарантирует рациональности. Таким образом, ( \sqrt{1,6} ) является иррациональным числом.
Число ( 0,016 ) запишем в виде дроби:
[ 0,016 = \frac{16}{1000} ]
Теперь упростим дробь:
[ \frac{16}{1000} = \frac{4}{250} = \frac{2}{125} ]
Квадратный корень из такого числа мы взять точно не можем, так как ( \sqrt{0,016} ) не даёт точного рационального результата.
