Катер прошёл 30 км по течению реки и 13 км против течения, затратив на весь путь 1 ч 30 мин . Какова...

Рассмотрим задачу по шагам, используя переменные и дискриминант для решения уравнения.

1. Обозначения:

   • Пусть ( x ) км/ч — собственная скорость катера.
   • Скорость течения реки — 2 км/ч.
   • Время на весь путь — 1 час 30 минут = 1.5 часа.

2. Скорости:

   • Скорость катера по течению реки: ( x + 2 ) км/ч.
   • Скорость катера против течения реки: ( x - 2 ) км/ч.

3. Время в пути:

   • Время, затраченное на 30 км по течению: ( \frac{30}{x + 2} ) часов.
   • Время, затраченное на 13 км против течения: ( \frac{13}{x - 2} ) часов.

4. Составление уравнения: Сумма времени на обе части пути равна общему времени в пути: [ \frac{30}{x + 2} + \frac{13}{x - 2} = 1.5 ]

5. Решение уравнения:

   Начнем с приведения уравнения к общему знаменателю и упрощения: [ \frac{30}{x + 2} + \frac{13}{x - 2} = 1.5 ]

   Умножим обе стороны уравнения на ((x + 2)(x - 2)), чтобы избавиться от знаменателей: [ 30(x - 2) + 13(x + 2) = 1.5 (x + 2)(x - 2) ]

   Раскрываем скобки: [ 30x - 60 + 13x + 26 = 1.5 (x^2 - 4) ]

   Объединяем и упрощаем: [ 43x - 34 = 1.5x^2 - 6 ]

   Переносим все в левую часть уравнения: [ 1.5x^2 - 43x + 28 = 0 ]

6. Решение квадратного уравнения:

   Применим дискриминант для решения квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0), где (a = 1.5), (b = -43), (c = 28): [ D = b^2 - 4ac ] [ D = (-43)^2 - 4 \cdot 1.5 \cdot 28 ] [ D = 1849 - 168 = 1681 ]

   Дискриминант положителен, следовательно, уравнение имеет два корня: [ x{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ x{1,2} = \frac{43 \pm \sqrt{1681}}{3} ] [ \sqrt{1681} = 41 ] [ x_{1,2} = \frac{43 \pm 41}{3} ]

   Найдем оба корня: [ x_1 = \frac{43 + 41}{3} = \frac{84}{3} = 28 ] [ x_2 = \frac{43 - 41}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.67 ]

7. Проверка корней: Поскольку ( x ) — это скорость катера, она не может быть меньше скорости течения реки (2 км/ч). Следовательно, корень ( x_2 \approx 0.67 ) не подходит. Остается единственный физически возможный корень:

   [ x = 28 \text{ км/ч} ]

Таким образом, собственная скорость катера равна 28 км/ч.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой времени равной расстоянию поделенному на скорость. Обозначим скорость катера как Х км/ч.

Таким образом, время, затраченное на прохождение 30 км по течению, равно 30 / (Х + 2) часов. Время, затраченное на прохождение 13 км против течения, равно 13 / (Х - 2) часов.

Из условия задачи известно, что сумма этих двух времен равна 1 часу 30 минутам, или 1,5 часам.

Составим уравнение: 30 / (Х + 2) + 13 / (Х - 2) = 1,5

Умножим уравнение на (Х + 2)(Х - 2), чтобы избавиться от знаменателей: 30(Х - 2) + 13(Х + 2) = 1,5(Х + 2)(Х - 2)

Раскроем скобки и приведем подобные члены: 30Х - 60 + 13Х + 26 = 1,5(Х^2 - 4) 43Х - 34 = 1,5Х^2 - 6

Приведем уравнение к квадратному виду: 1,5Х^2 - 43Х + 34 - 6 = 0 1,5Х^2 - 43Х + 28 = 0

Теперь можем найти дискриминант по формуле: D = b^2 - 4ac D = (-43)^2 - 4 1,5 28 D = 1849 - 168 D = 1681

Теперь найдем корни уравнения по формуле: Х1,2 = (-b ± √D) / 2a Х1,2 = (43 ± √1681) / 2 * 1,5 Х1 = (43 + 41) / 3 Х1 = 28,67 км/ч

Х2 = (43 - 41) / 3 Х2 = 0,67 км/ч

Таким образом, собственная скорость катера равна 28,67 км/ч.