Катер прошел 40 км по течению реки и 6 км против течения ,затратив на весь путь 3 часа . Какова собственная...

Давайте обозначим переменные и решим задачу шаг за шагом.

Обозначим:

• ( v ) — собственная скорость катера (км/ч),
• ( v_t = 2 ) км/ч — скорость течения реки.

Катер прошел 40 км по течению и 6 км против течения. Разделим задачу на две части: движение по течению и против течения.

1. По течению:

   • Эффективная скорость катера по течению будет ( v + v_t ).
   • Расстояние 40 км.
   • Время, затраченное на движение по течению: ( t_1 = \frac{40}{v + v_t} ).

2. Против течения:

   • Эффективная скорость катера против течения будет ( v - v_t ).
   • Расстояние 6 км.
   • Время, затраченное на движение против течения: ( t_2 = \frac{6}{v - v_t} ).

Весь путь занял 3 часа, то есть ( t_1 + t_2 = 3 ). Подставим выражения для времени:

[ \frac{40}{v + 2} + \frac{6}{v - 2} = 3 ]

Теперь решим это уравнение:

1. Приведем к общему знаменателю: [ \frac{40(v - 2) + 6(v + 2)}{(v + 2)(v - 2)} = 3 ]

2. Раскроем скобки в числителе: [ \frac{40v - 80 + 6v + 12}{v^2 - 4} = 3 ]

3. Сложим и упростим числитель: [ \frac{46v - 68}{v^2 - 4} = 3 ]

4. Умножим обе части уравнения на ( v^2 - 4 ) для устранения знаменателя: [ 46v - 68 = 3(v^2 - 4) ]

5. Раскроем скобки и перенесем все члены уравнения в одну сторону: [ 46v - 68 = 3v^2 - 12 ]

[ 3v^2 - 46v + 56 = 0 ]

1. Решим квадратное уравнение ( 3v^2 - 46v + 56 = 0 ) с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac ] [ D = (-46)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 56 ] [ D = 2116 - 672 ] [ D = 1444 ]

2. Найдем корни уравнения: [ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ v = \frac{46 \pm \sqrt{1444}}{6} ] [ v = \frac{46 \pm 38}{6} ]

Получаем два корня: [ v_1 = \frac{46 + 38}{6} = \frac{84}{6} = 14 ] [ v_2 = \frac{46 - 38}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1.33 ] (Этот корень не подходит, так как он меньше скорости течения реки.)

Итак, собственная скорость катера составляет ( v = 14 ) км/ч.

Собственная скорость катера составляет 8 км/ч.

Пусть скорость катера в стоячей воде равна V км/ч. Тогда скорость катера по течению реки будет равна V + 2 км/ч, а против течения - V - 2 км/ч.

Составим уравнение по времени: 40 / (V + 2) + 6 / (V - 2) = 3

Решим уравнение: 40(V - 2) + 6(V + 2) = 3(V^2 - 4) 40V - 80 + 6V + 12 = 3V^2 - 12 46V - 68 = 3V^2 - 12 3V^2 - 46V + 56 = 0

Далее найдем корни уравнения с помощью дискриминанта: D = (-46)^2 - 4356 = 2116 + 672 = 2788

V = (46 ± sqrt(2788)) / 6

V ≈ 11.6 км/ч или V ≈ 5.1 км/ч

Так как скорость не может быть отрицательной, то собственная скорость катера равна 11.6 км/ч.